追梦之旅专题训练(二)勾股定理（小册子）-【追梦之旅·数学铺路卷】2022-2023学年八年级上册初二数学（北师大版）

追梦之旅·铺路卷·BS·八年级数学上册·第 27 页 追梦之旅专题训练(二) 勾股定理 1. 如图,已知圆柱底面的周长为 4dm,圆柱高为 2dm, 在圆柱的侧面上,过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝, 求这圈金属丝的周长的最小值是多少? 2. 【知识生成】 通过不同的方法表示同一图形的面 积,可以探求相应的等式,如图 1,两个边长分别为 a,b 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直 角三角形拼成如图所示的梯形,请用两种方法计 算梯形面积. (1)方法一可表示为　 　 　 　 　 　 　 　 ;方法二可 表示为　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)根据方法一和方法二,你能得出 a,b,c 之间的 数量关系是　 　 　 　 　 　 　 　 (等式的两边需 写成最简形式); (3)由上可知,一直角三角形的两条直角边长为 6 和 8,则其斜边长为　 　 　 　 　 　 　 　 . 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体 积,也可以探求相应的等式. 如图 2 是边长为 a+b 的正方体,被如图所示的分割线分成 8 块. (4)用不同方法计算这个正方体体积,就可以得到 一个等式,这个等式可以为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (等号两边需化为最简形式) (5)已知 2m-n= 4,mn = 2,利用上面的规律求 8m3 -n3 的值. 图 1 　 　 　 　 图 2 3. (1)如图,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 B 沿表 面爬行到顶点 D,怎样爬行路线最短? 为什 么? (2)若长方体的长为 3、宽为 1、高为 2,蚂蚁要沿长 方体的表面,从顶点 B1 走到顶点 D,试画出不 重复情况的展开示意图,并通过计算比较求出 最短距离. 4. 勾股定理是一个基本的几何定理,早在我国西汉 时期算书《周牌算经》 就有“勾三股四弦五” 的记 载. 如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样 的直角三角形叫“正整数直角三角形”,这三个正 整数叫做一组“勾股数”,如:3,4,5;5,12,13;7, 24,25 等都是勾股数. (1)小欢在研究勾股数时发现,某些正整数直角三 角形的斜边能写成两个整数的平方和,有一条 直角边能写成这两个整数的平方差,我们把这 样的勾股数叫做完美勾股数. 如 3,4,5 中,5 = 追梦之旅·铺路卷·BS·八年级数学上册·第 28 页 22 +12,3 = 22 -12;5,12,13 中,13 = 32 +22,5 = 32 -22 . 判断 8,15,17 和 9,40,41 这两组勾股数 是不是完美勾股数,并说明理由; (2)有一个直角三角形两直角边长分别为 7a-7 (a>1)和 150-30b (b<5),斜边长为 4 15 , 且 a 和 b 均为正整数,用含 b 的代数式表示 a, 并求出 a 和 b 的值. 5. 如图所示,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,∠A ∶∠C= 1 ∶2,AB= 2,CD= 1. (直角三角形中 30°角所 对的直角边等于斜边的一半) 求:(1)∠A,∠C 的度数; (2)AD,BC 的长度; (3)四边形 ABCD 的面积. 6. 在△ABC 中,AB= c,BC = a,AC = b. 如图 1,若∠C = 90°,根据勾股定理有 a2 +b2 = c2 . (1)如图 2,当△ABC 为锐角三角形时,类比勾股 定理,判断 a2 +b2 与 c2 的大小关系,并证明; (2)如图 3,当△ABC 为钝角三角形时,类比勾股 定理,判断 a2 +b2 与 c2 的大小关系,并证明; (3)如图 4,一块四边形的试验田 ABCD,已知∠B = 90°,AB= 80 米,BC = 60 米,CD = 90 米,AD = 110 米,求这块试验田的面积. — 99 — — 100 — 18. 17　 48　 【解析】因为一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 5,则 4x1 -3,4x2 -3,4x3 -3,4x4 - 3,4x5 - 3 的平均数是 1 5 [4( x1 +x2 +x3 +x4 + x5)-15] = 17. 因为新数是原来数据的 4 倍减 3,所以方差变为原来 数据的 16 倍,即 48. 19. 解:(1)9　 9 (2) s2甲 = 1 8 ×[(10-9) 2 +(8-9) 2 +(9-9) 2 +(8-9) 2 +(10- 9) 2 + (9-9) 2 +(10-9) 2 +(8-9) 2 ] = 0. 75,s2乙 = 1 8 ×[(10-9) 2 +(7 -9) 2 +(10-9) 2 +(10-9) 2 +(9-9) 2 +(8-9) 2 +(8-9) 2 +(10-