笔记&必记 第三章 函数-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第三章函数 第三章 函数 3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 1.函数的概念 一般地，给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x, 在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f (x),x∈A,其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A)称为这个函数的定义 域，所有函数值组成的集合{y∈By=f(x),x∈A}称为函数的值域. 2.确定函数的要素 函数有三要素：定义域、值域、对应关系. 因为函数的值域被函数的定义域和对应关系完全确定，所以确定一个函数就只需两个要素： 定义域和对应关系 要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出： (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y. 3.同一个函数的判断 如果两个函数表达式表示的函数的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两 个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如函数y =√，x∈R与g(x)=|x,x∈R表示同一个函数， 【例1】判断下列各组函数是否表示同一个函数. (1)f(x)=2x+1与g(x)=√/4x2十4.x+1; (2f(x)=t二x与g(x)=x-1: 8a=-与a-f (4)f(n)=2m-1与g(n)=2+1(n∈Z). 【解】(1)g(x)=|2x+1|, f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数； (2)f(x)=x-1(x≠0)， f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数； x-1,x≥1， (3)f(x)= 1-x,x<1. f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此表示同一个函数； (4)f()与g(n)的定义域和对应关系都不同，因此是不同的函数. 。名师点睛… 若两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相同；若两个函数的对应关系不相同，则这两个 函数不相同；即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的 定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系， 数学· ☑笔记&必记 【例2】求下列函数的定义域，并用区间表示， a)f)=Y4:(2g(x)=V2x+3-1+1 x+1 √2-x 【解(1)根据题意，有x十1≠0 4-x≥0， 解得 x≤4， x≠-1， 所以f(x)的定义域为（一∞，-1）U(-1,4]. 2x+3≥0， (2)根据题意，有2->0，所以-8<<2且x≠0， x≠0， 故函数g(x)的定义域为[-20)U(0,2). 3 同名师点睛… 已知函数的解析式求其定义域的常见类型： (1)若解析式为分式，则要求分母不等于零； (2)若解析式为偶次根式，则要求被开方的式子大于或等于零； (3)零的零次幂没有意义； (4)如果f(x)是由几部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实 数构成的集合 4.函数的表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 优点 缺点 2.8 用图像表 能形象、直 只能近似地求出自变量的值 示两个变 图像在x轴 图像法 图像在y轴 0.6 观地表示 所对应的函数值，而且有时误 量之间的 上的投影 上的投影 出函数的 12 对应关系 变化情况 差较大 定义域是[1,2]，值 域是[0.6,2.8] 列出表格 2 不需要计算 表示两个 表格中自 表格中相 就可以直接 只能表示自变量取较少的有限 列表法 变量之间 变量x的 应y的取 0 看出与自变 值的对应关系 的对应 取值集合 值集合 定义域是{1,2,3}， 量的值相对 关系 值域是{0，一1,1} 应的函数值 (1)简明、全 用数学表 面地概括了 使解析式有 达式表示 函数y=√x的定义 变量间的关 意义的自变 因变量y的 不够形象、直观，有的函数不 解析法 两个变量 域是{xx≥0}，值域 系；(2)可以 量x的取值 取值范围 能用解析式表示出来 之间的对 是{yly≥0} 求任意一个 范围 应关系 自变量所对 应的函数值 同温馨提示… 应用三种方法表示函数的注意事项： (1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 18 ·数学 第三章函数自 (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图像法：注意定义域对图像的影响.与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点. 【例3】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出收款y(元)与台数x(台)之间的 函数关系，分别用列表法、解析法和图像法表示出来. 【解】(1)列表法： x(台) 2 3 6 8 9 10 y(元) 3000 6000 9000 12000 1500018000 2100