06第六章 平面向量和复数（知识回顾+高频考点训练）-2023年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（人教A版2019，新教材地区）

第六章 平面向量和复数 6.1平面向量的概念和运算 6.2平面向量基本定理及坐标表示 6.3平面向量的应用（正弦定理、余弦定理） 6.4复数的概念及四则运算 6.5平面向量和复数实战 6.1平面向量的概念和运算 知识回顾 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 （1）向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. （2）向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. （3）向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、向量的夹角 已知两个非零向量和，如图所示，作，，则 ()叫做向量与的夹角，记作． (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作； 当时，两向量，共线但反向． 5、数量积的定义： 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：. 高频考点 1．（2022·天津南开·高二学业考试）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·贵州·高二学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 3．（2022·福建·高二学业考试） A． B． C． D． 4．（2022·广西·高二学业考试）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）如图，在矩形中，为中点，那么向量=（    ） A． B． C． D． 6．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知，，若与夹角的大小为60°，则（    ） A． B．3 C． D． 7．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）在中，，为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知，，，则与的夹角余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·浙江·高二学业考试）已知，是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 11．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）设是非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2022·浙江·高三学业考试）已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．（2022·浙江·高三学业考试）已知为平面内两个不共线的向量，，若M，N，P三点共线，则λ=________. 15．（2022·天津南