特训02 期中解答压轴题（第1-3章）-2022-2023学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）

特训02 期中解答压轴题（第1-3章） 一、解答题 1．（2019·浙江·杭州高级中学高二期中）如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点. （1）若直线l的斜率，求线段AB的长度； （2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值； （3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 2．（2022·浙江·高三专题练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段中点的轨迹为曲线. （1）求曲线C的方程； （2）直线经过坐标原点，且不与轴重合，直线与曲线相交于两点，求证：为定值； （3）已知过点有且只有一条直线与圆相切，过点作两条倾斜角互补的直线与圆交于两点，求两点间距离的最大值. 3．（2022·浙江·高三专题练习）长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ， 图1                               图2 (1)如图1，当时，求证：直线平面； (2)如图2，当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离； (3)当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离. 4．（2022·浙江省杭州学军中学高二开学考试）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 5．（2021·重庆市实验中学高二阶段练习）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．（2021·天津·南开中学高一期末）2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由； （3）求二面角的余弦值； （4）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值. 7．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆和点. (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线交圆于点，两个不同的点，且不过圆心，再过点，分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程； (3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 8．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1. （1）求圆的方程； （2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分； （3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由. 9．（2022·浙江·高二期末）设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，. (1)求抛物线的方程； (2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标； (3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 10．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线C的方程 (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设为原点，，，求证：为定值． 11．（2022·浙江金华·高二期末）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线的