专题09 圆锥曲线的离心率范围的问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题09 圆锥曲线的离心率范围的问题 一、真题剖析 （2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【试题情景】本题属于创新探索情景，本题以椭圆为载体，考查椭圆离心率的取值范围。 【必备知识】本题考查的知识点是椭圆的几何性质、两点间的距离公式及构造函数求最值 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索。 【答案】C 【解析】设，由，因为，，所以 ， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立． 故选：C． 二、题型选讲 题型一 、圆锥曲线问题中给出不等关系求范围 例1、（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由可得、，由双曲线定义可构造方程得到；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围. 【详解】 在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 故选：D. 变式1、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得． 【详解】 法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又， 消去整理得：， 解得(舍去)或， 由得， 所以，即， 若，则，又， 消去整理得：， 解得或，舍去． 所以， 所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 变式2、【2022年全国甲卷】记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 【答案】2（满足皆可） 【解析】 【分析】 根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值. 【详解】 解：，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 题型二、由圆锥曲线的焦半径求范围 例2、(2022·江苏如皋期初考试)已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1，2]∪[3，6) 【解析】由题意可设双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，则有|， 所以|PF1|＝＝，解得|PF1|＝；又 因此则解得1＜e≤2或3≤e＜6， 即双曲线离心率的取值范围为(1，2]∪[3，6)． 变式1、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的； ②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或 当时，则，即，则， 当时，则有，则， 综上所述，椭圆的离心率取值范围是. 故选：A. 变式2、（2021·河北沧州市高三二模）设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（ ） A．，则 B．，则 C．，则的取值范围是 D．，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先设，焦距为，根据椭圆与双曲线的定义，求出，；当，得，进而可判断B正确，A错；当时，得到，推出，利用换元法，结合函数单调性，即可判断D正确，C错. 【解析】 如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，， 当时，则，所以， 即，由离心率的公式可得，故正确. 当时，可得，即，可得， 由，可得，可得，即，则， 可设，则， 由在上单调递增，可得，则，故正确. 故选： 题型三、由圆锥曲线的点求范围 例3、（2022·全国·模拟预测）设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解