专题08 圆锥曲线的离心率值的问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题08 圆锥曲线的离心率值的问题 一、真题剖析 ．【2022年全国乙卷】（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【试题情景】本题属于创新探索情景，本题以椭圆为载体，考查椭圆离心率的取值范围。 【必备知识】本题考查的知识点是椭圆的几何性质、两点间的距离公式及构造函数求最值 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索。依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论。 【答案】AC 【解析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 二、题型选讲 题型一 、由点坐标代入寻求等量关系 例1、【2022年浙江】已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】 过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 变式1、（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【解析】 ：设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，则， 设直线的方程为， 由，得，所以， 所以直线的斜率为， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故答案为： 变式2、（2021·浙江高三期末）已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率. 依题意知，若双曲线焦点为，， ∴，则△的高为，即， ∴，代入双曲线方程：，整理得：， ∵， ∴，整理得，得， ∵， ∴． 故选：D． 题型二、由已知数量关系求离心率 例2、【2022年全国甲卷】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】 解：， 设，则， 则， 故， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 变式1、（2022·山东青岛·高三期末）已知坐标原点为，双曲线的右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可知双曲线右顶点为线段OF的中点，从而可得结果. 【详解】 设双曲线的右顶点为， 又点，， ∴垂直平分线段， ∴，即. 故选：A 变式2、（2022·山东济南·高三期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分別是，，过点的直线与交于，两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使平面平面.若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，然后利用余弦定理建立关于的方程即可求解. 【详解】 解：由题意，，所以，， 因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面， 所以， 所以，， 因为， 所以由余弦定理有，即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故选：D. 变式3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 延长交于点，可得，结合双曲线的定义可得的关系，从而求得离心率． 【详解】 如图延长交于点， ∵是的平分线， ∴，，又是中点， 所以，且， 又， ∴，， ∴． 故选：A． 题型三、与向量、圆等综合性问题 例3、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，