4.1.2 数列的递推公式和前n项和公式（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 4.1.2 数列的递推公式和前n项和公式 历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子. 第一个月，只有1对兔子； 第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子； 第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子； 情景引入 第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子； 第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子； 问题1　过了一年之后，会有多少对兔子？ 提示　我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子. 问题2　兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？ 提示　an＋an＋1＝an＋2. 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 【典例1】已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 一、数列的递推公式 我们把数列 从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn ，即 如果数列 的前n项和 Sn 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式． 二、数列的前n项和 追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ = 当n≥2时， 当n = 1时， n≥2. n = 1, an与Sn的关系 思 考 已知数列 的前n项和公式为 ，你能求出 的通项公式吗？ 当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 当n = 1时， 当n≥2时， 综上所述， 的通项公式是 . 题型探究 视野拓展 回顾本节课所学的知识，思考： （1）什么是递推公式？ （2）什么是前n项和公式？由前n项和公式得到通项公式的一般方法？ 课堂小结 n 数列 通项公式与递推公式的区别与联系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项__________(或前几项)之间的关系 表示an与___之间的关系 联系 (1)都是表示__________的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－1 注意：(1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． 类型一 由递推公式写出数列中的项 [例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N*)． (1)判断0和1是不是数列{an}的项，若是，指出是第几项，若不是，请说明理由． (2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项，若存在，指出分别是第几项；若不存在，请说明理由． [思路分析]　(1)利用通项公式，分别令通项公式等于0,1分别求解． (2)利用假设法进行求解． [解]　(1)令an＝0，得n2－21n＝0， ∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{