专题15 乘法公式的应用专题探究-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题15 乘法公式的应用专题探究 （一）利用乘法公式求面积： 【类题训练】 1．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可． 【解答】解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 2．如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】用代数式分别表示各个部分的面积，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【解答】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 3．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③④ 【分析】根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可． 【解答】解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图1可以验证乘法公式； 图2可以验证的等式为：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），因此图2不能验证乘法公式； 图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图3可以验证乘法公式； 图4可以验证的等式为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，因此图4不能验证乘法公式； 所以能够验证乘法公式的是：图1，图3， 故选：C． 4．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝21，则图中阴影部分的面积为（　　） A．46 B．33 C．28 D．52 【分析】用两个正方形的面积之和，减去两个空白三角形的面积进行列式计算． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 由题意得，图中阴影部分的面积为： a2+b2﹣（+） ＝（a+b）2﹣2ab﹣， ＝﹣2ab， ∴当a+b＝10，ab＝21时， 原式＝﹣2×21 ＝75﹣42 ＝33， 故选：B． 5．如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解． 【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34， 根据题意得：（a﹣b）2＝4， ∴a2+b2﹣2ab＝4， ∴2ab＝30， ∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30， 故选：A． 6．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（　　） A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a 【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案． 【解答】解：由题意得，，， ∵S1＝6S2， ∴2ab＝6（ab﹣a2）， 2ab＝6ab﹣6a2， ∵a≠0， ∴b＝3b﹣3a， ∴2b＝3a， 故选：B． 7．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a＞b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，正确的有（　　） ①（a﹣b）2＝28； ②ab＝26； ③a2+b2＝80； ④a2﹣b2＝64 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据拼图得出，（a+b）2＝132，（a﹣b）2＝28，ab＝＝26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【解答】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b