专题12 最短路径探究之将军饮马-【专题突破】2022-2023学年八年级数学上册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题12 最短路径探究之将军饮马 【知识点睛】 · 将军饮马模型总结： 类型 问题 作法 图形 原理 异侧型“两定一动”型 连接AB PA＋PB的最小值为AB，两点之间，线段最短 同侧型“两定一动”型 作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B，A`B与直线l的交点即为点P AP+BP=A`B，两点之间线段最短 角内部“一定两动”型 分别作点P关于两直线的对称点P`，P``，连接P`P``，与两直线交点即为点M、N PM+MN+PN=P`P``，两点之间，线段最短 角内部“两定两动”型 分别作点P、Q关于直线l1，l2的对称点P`，Q`，连接P`Q`，与直线的交点即为点M、N PQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，两点之间线段最短 同侧“两定两动”型 将点A向右平移a个单位到点A`，作A`关于直线l的对称点A``，连接A``B，A``B与直线l交点即为点N，将点N向左平移a分单位即为点M AM+MN+NB=a+A``B，两点之间，线段最短 · 其他“两动一定”型最值问题模型： 如图，点P、点Q分别为直线BC、直线AB上的两个动点，求AP＋PQ的最小值 作点A关于直线BC的对称点A`，过点A`作A`Q⊥AB与点Q，A`Q与直线BC交点即为点P AP+PQ=A`Q，点到直线的距离，垂线段最短 · “造桥选址”类将军饮马模型： 村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A与B之间的距离最短构造平行四边形AA`NM，则AM转化为A`N，之后再依据两点之间线段最短，连接A`B即为A、B之间陆地距离的最小值 A` · 特别地：“两动两定”型将军饮马，平行四边形的构造都是为了消除动点间的间距d，所以平行四边形的两邻边中，一边是间距d、另一边是定动线段AM或BN中的一条。 【类题训练】 1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】作点A关于l的对出现A′，则OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可． 【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点． 故选：D． 2．如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（　　） A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ 【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可． 【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽， 连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E， 则EF∥PP′且EF＝PP′， 于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE， 根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短． 故C选项符合题意， 故选：C． 3．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　） A．140° B．100° C．50° D．40° 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°， ∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B． 4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A