专题27.4 圆周角定理【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题27.4 圆周角定理【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 2 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 5 【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 9 【题型4 翻折中的圆周角的运用】 13 【题型5 利用圆周角求最值】 18 【题型6 圆周角中的证明】 22 【题型7 圆周角中的多结论问题】 28 【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 32 【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 37 【题型10 利用圆周角求取值范围】 40 【知识点1 圆周角定理及其推论】 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　） A．12° B．22° C．24° D．44° 【分析】利用圆周角定理求出∠AOC＝156°，可得结论． 【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°， ∴∠AOC＝156°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°， 故选：C． 【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．130° 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°， ∵∠DOE＝130°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故选：B． 【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（　　） A．100° B．70° C．55° D．65° 【分析】根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠1＝80°，根据三角形内角和定理得出∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，求出∠1+∠B＝∠BOC+∠C即可． 【解答】解：设OB交AC于D， ∵∠1＝40°， ∴∠BOC＝2∠1＝80°， ∵∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，∠ADB＝∠ODC， ∴∠1+∠B＝∠BOC+∠C， ∵∠C＝25°， ∴40°+∠B＝80°+25°， ∴∠B＝65°， 故选：D． 【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2 C． D． 【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明∠AOB+∠COD＝90°，在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，OD， ∵∠BOC＝2∠CAB，∠AOD＝2∠ACD，∠CAB+∠ACD＝120°， ∴∠BOC+∠AOD＝240°， ∴∠AOB+∠COD＝120°， 在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则， ∴∠AOB＝∠DOE， ∴∠COE＝120°， ∴∠CDE＝120°， ∴∠EDT＝60°， ∵DE＝AB＝2， ∴DT＝1，ET， ∴CT＝CD+DT＝4+1＝5， ∴CE， 作OF⊥CE，则∠COF＝60°，CF， ∴OC＝OE， 故选：D． 【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（　　） A．42° B．45° C．48° D．52° 【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠A＝∠D＝48°，∠ACB＝90°，求出∠ABC，根据垂直求出∠CEB，再求出∠1即可． 【解答】解：连接AC， 由圆周角定理得：∠A＝∠D， ∵∠D＝48°， ∴∠A＝48°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝42°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠ABC＝48