专题09 指数与指数函数（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题09 指数与指数函数 一、考情分析 二、考点梳理 重难点一 根式与分数指数幂 (1)、性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ (2)、规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (3)、有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 重难点二 指数函数及其性质 (1)、概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)、指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 三、题型突破 重难点突破1 指数与指数运算 例1．（1）、（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（    ） A． B．   C． D． （2）、（2022·全国·高一单元测试）（多选题）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·全国·高一课时练习（理））下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）化简___________. 例2、（2022·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练2-1】、（2021·全国高一课时练习）计算或化简： （1）－10＋； （2）·. 重难点突破2 指数函数的图像与性质 例3．（1）、函数图象一定过点 ( ) A.（0,1） B.（0,3） C.（1,0） D.（3,0） （2）、（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ） A． B． C． D． （3）、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数且的图象可能是（    ）             A．①③ B．②④ C．④ D．① 【变式训练3-1】、（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））函数的图象恒过定点__________ 【变式训练3-2】、（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】、（2022·全国·高一课时练习）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D．． 重难点突破3 指数函数的单调性与最值（比较大小） 例4.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2）、（2017·全国高一课时练习）已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-1】、（2022·山西·高二期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 重难点突破4 指数型复合函数的应用 例5、（1）、（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）若函数的最大值是2，则（    ） A． B． C． D． （2）、（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【变式训练5-1】、（2023·全国·高三专题练习）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（    ） A．3 B． C．-5 D．3或 【变式训练5-2】、（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______． 重难点突破4 指数型复合函数的应用 例6.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值． 【变式训练6-1】、（2021·全国高三专题练习）已知函数 （1）若，求函数的单调区间 （2）若有最大值3，求a的值 （3）若的值域是，求实数a的取值范围. 例7、（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知函数 （）. （1）若，求函数的值域； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 【变式训练7-1】、（2022·山西·平遥县第二中学校高