专题24.9 正多边形与圆【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.9 正多边形与圆【十大题型】 【沪科版】 【题型1 正多边形与圆中求角度】 1 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 5 【题型3 正多边形与圆中求半径】 8 【题型4 正多边形与圆中求面积】 11 【题型5 正多边形与圆中求周长】 14 【题型6 确定正多边形的边数】 16 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 19 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 23 【题型9 正多边形与圆中求最值】 27 【题型10 正多边形与圆中的证明】 32 【知识点1 正多边形与圆】 （1）正多边形的有关计算 中心角 边心距 周长 面积 为边数；为边心距；为半径；为边长 （2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为 【题型1 正多边形与圆中求角度】 【例1】（2022春•株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（　　） A．36° B．45° C．48° D．60° 【分析】如图，连接AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论． 【解答】解：如图，连接AO． ∵△AMN是等边三角形， ∴∠ANM＝60°， ∴∠AOM＝2∠ANM＝120°， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOB72°， ∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°． 故选：C． 【变式1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】由正六边形的性质得出∠COD＝60°，由圆周角定理求出∠CMD＝30°． 【解答】解：连接OC，OD， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠CMDCOD＝30°， 故选：C． 【变式1-2】（2022春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 　36°　． 【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【解答】解：∵正五边形ABCDE， ∴∠ABC＝∠EAB108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE， ∴∠ACB＝∠BAC36°， ∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°， ∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°， ∴DE∥AC， 又∵DE＝AE＝AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AE∥DF， ∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA， ∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 故答案为：36°． 【变式1-3】（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 　12　度． 【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数． 【解答】解：如图，连接OA， 正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°， 正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°， ∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°． 故答案为：12． 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 【例2】（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　　） A．3 B． C． D．3 【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长． 【解答】解：连接OC，OD， ∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形， ∴∠COD＝60°， ∵OC＝OD，OG⊥CD， ∴∠COG＝30°， ∵⊙O的周长等于6π， ∴OC＝3， ∴OG， 故选：C． 【变式2-1】（2022秋•西城区期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．4 B．8 C． D． 【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD． 由题意，△BCD是等腰直角三角形， ∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°， ∴BCBD＝4． 故选：D． 【变式2-2】（2022•德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（　　） A． B． C． D． 【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF