专题24.8 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.8 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】 【沪科版】 【题型1 利用切线长定理求周长】 1 【题型2 三角形内切圆中求角度】 5 【题型3 三角形内切圆中求面积】 9 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 13 【题型5 三角形内切圆中求半径】 16 【题型6 三角形内切圆中求最值】 20 【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 25 【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】 （1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 （2）三角形内切圆 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【题型1 利用切线长定理求周长】 【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点， 已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为　20cm　． 【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm， ∴设E、F分别是⊙O的切点， 故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）． 故答案是：20cm． 【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长． 【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB． 【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根， ∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1， ∵PA、PB切⊙O于A、B两点， ∴PA＝PB， 即•m﹣1， 即m2﹣4m+4＝0， 解得：m＝2， ∴PA＝PB＝1， ∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E， ∴AD＝ED，BC＝EC， ∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2． 【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．20 C．24 D．30 【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x， ∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， ∴四边形OECF为正方形， ∵⊙O的半径为2，BC＝5， ∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3， ∴在Rt△ABC中， ∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2， 解得x＝10， ∴△ABC的周长为12+5+13＝30． 故选：D． 【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根． （1）求∠P的度数； （2）求△PDE的周长； （3）求四边形DEMN的周长． 【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题； （2）利用切线长定理即可解决问题； （3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题； 【解答】解：（1）连接OA、OB、OC． ∴PA、PB、DE是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC， ∵∠DOE＝65°， ∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°． （2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线， ∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5， ∴