专题24.7 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.7 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】 【沪科版】 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 4 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 6 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 9 【题型5 定义法判断切线】 13 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 15 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 19 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 23 【题型9 利用切线的性质求角度】 27 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 30 【知识点1 直线与圆的位置关系】 直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为 则有： 相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交 相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切 相离：直线和圆没有公共点 直线和相离 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．直线l与⊙O相交 B．直线l与⊙O相切 C．直线l与⊙O相离 D．无法确定 【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论． 【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5， ∴直线l与⊙O相离． 故选：C． 【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．三种情况均有可能 【分析】设P（t，t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OPt2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切． 【解答】解：设P（t，t2﹣1）， ∴OPt2+1， ∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， ∴P点在直线y＝﹣2的上方， ∴P点到直线y＝﹣2的距离为t2﹣1﹣（﹣2）t2+1， ∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径， ∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切． 故选：B． 【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断． 【解答】解：∵直线l1与⊙O相切， ∴圆心O到一条直线l1的距离为5， ∵直线l2与⊙O相离， ∴圆心O到一条直线l2的距离大于5， ∵直线l3与l4与⊙O相交， ∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5， 而圆心O到直线l3的距离较小， ∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3． 故选：C． 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．3 B．5 C．6 D．10 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（　　） A．0≤r B．r≤3 C．r≤4 D．3≤r≤4 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点， ∴AB＝5， 当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点， ∴CD×AB＝AC×BC， ∴CD＝r， 当直线与圆如图所示也可以有交点， ∴r≤4