专题24.6 圆内接四边形【六大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.6 圆内接四边形【六大题型】 【沪科版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 5 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 9 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 13 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 16 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 20 【知识点1 圆内接四边形】 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数． 方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数． 【解答】解：方法一：连接OD，如图所示， ∵∠ABD＝20°， ∴∠AOD＝40°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°， ∴∠OAD＝∠ODA＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠OAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°， 故选：C． 方法二：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°， 故选：C． 【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可． 【解答】解：连接OA， ∵OA＝OB，OA＝OD， ∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO， ∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD， ∵四边形OBCD是菱形， ∴∠BCD＝∠BOD， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝2∠BAD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴3∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°， 故选：B． 【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 　60°　． 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝2∠DAE＝60°， 故答案为：60°． 【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　64　°． 【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°， 又∵△AOC为等腰三角形， ∴∠5＝∠OCA， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°， ∵∠1+∠2＝64°， ∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5， ∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝∠1+∠2＝64°， ∴∠O＝2∠D＝128， 在等腰三角形AOC中， 2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°， ∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°， 故答案为64． 【题型