专题24.4 垂径定理【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.4 垂径定理【十大题型】 【沪科版】 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 1 【题型2 利用垂径定理求角度】 5 【题型3 利用垂径定理求最值】 9 【题型4 利用垂径定理求取值范围】 13 【题型5 利用垂径定理求整点】 18 【题型6 利用垂径定理求面积】 22 【题型7 垂径定理在格点中的运用】 26 【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 33 【题型10 垂径定理的应用】 37 【知识点1 垂径定理及其推论】 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【题型1 利用垂径定理求线段长度】 【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案． 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝BC＝4， 如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵CE＝2， ∴BE6， 则AE10， ∴AO＝OD＝5， 在Rt△AOC中，OC3， 则CD＝OD﹣OC＝2， 故选：C． 【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　） A．6 B． C．8 D． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决． 【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示， 则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°， 又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16， ∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8， ∴四边形OEPF是矩形，OE＝6， 同理可得，OF＝6， ∴EP＝6， ∴OP， 故选：B． 【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．5 B．2 C．4 D． 【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OFOE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长． 【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO， ∵AE＝5，BE＝1， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3， ∴OE＝3﹣1＝2． ∵∠AEC＝30°， ∴OF＝1， ∴CF＝2， ∴CD＝2CF＝4， 故选：C． 【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　2　． 【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD，从而得解． 【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT． ∵D为半径OA的中点，CD⊥OA， ∴FD垂直平分AO， ∴FA＝FO， 又∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°， ∵CE＝CB，CT⊥EB， ∴ET＝TB， ∵BE＝2AE， ∴AE＝ET＝BT， ∵AD＝OD， ∴DE∥OT， ∴∠AOT＝∠ADE＝90°， ∴OE＝AE＝ET， ∵OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBT， ∵AO＝BO，AE＝BT， ∴△AOE≌△BOT（SAS）， ∴OE＝OT， ∴OE＝OT＝ET， ∴∠ETO＝60°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝CB＝BE， 设DE＝x， ∴AE＝2x，BE＝CE＝4x， ∴CD＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD， ∴AO＝2． 故答案为：2． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（　　） A．15°或75° B．