专题24.3 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.3 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】 【沪科版】 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 1 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 4 【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 6 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 9 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 12 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 16 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 19 【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】 22 【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】 25 【知识点1 弧、弦、角、距的概念】 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【题型1 圆心角、弧、弦的概念】 【例1】（2022秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可． 【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中． ②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等． ③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧． ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确． 故选：A． 【变式1-1】（2022秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC， ∴， ∴BC＝CD， 故选：B． 【变式1-2】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　①②③④　（填序号）． 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【变式1-3】（2022秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴的度数的度数＝180°， ∴的度数的度数＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°． 【解答】解：∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠AOC＝32° ∴∠COE＝32°+32°＝64°． 故选：D． 【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则∠2＝（　　） A．60° B．30° C．45° D．40° 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴∠2＝∠1＝45°，