专题02 空间向量与立体几何（难点）-2022-2023学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）

专题02 空间向量与立体几何（难点） 一、单选题 1．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 2．已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线与所成的角不可能为； （2）直线与所成角的最大值为； （3）直线与所成的角为时，与所成的角为. 其中正确的是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能可求出结果 【解析】由题意知，m、n、AC三条直线两两相互垂直，不妨平移到同一个交点C，放到一个正方形中，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC| = 1，，斜边AB以直线AC为旋转轴则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 设n所在的直线为CD，m所在的直线为CB， 所以，以C为坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线n的方向单位向量，，直线m的方向单位向量，，设点在运动过程中的坐标为，其中为与的夹角，，且，所以 在运动过程中的向量，设直线与所成角为，设直线与所成角为，因为线线角的范围为，所以，， 令 ， 所以不成立，①正确； 由， 当时，，，所以②正确； 直线与所成的角为时， ，， 由，得，， ， ，所以直线与所成的角为时，与所成的角不是，③错误 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题. 3．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得面积的取值范围 【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线， 又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段. 设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，． 易知平面APD的一个法向量为， 设平面PDG的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面PDG的一个法向量， 则二面角的平面角的余弦值为 ， 解得或（舍去）， 所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为． 故选：B． 4．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 5．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．长方体的体积 【答案】C 【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得. 【解析】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系， 且，所以选项A错误； 根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误； 因为， 且与同向共线； 又因为，且与同向共线， ，与同向共线， 所以，且与同向共线， ，故选项C正确； 因为长方体的体积为． 又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误； 故选：C． 解法二：如图建立空间直角坐标系： ，，， 则，所以选项A错误； ，则，故选项D错误； ，故选项B错误； ，则， ，，则． 所以，故选项C正确； 故选：C． 6．如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，