4.3.1 等比数列的概念（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念 一、单选题 1．方程的两根的等比中项是（    ） A．和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1 2．在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（    ） 2 4 1 2 x y A．2 B．3 C．4 D．5 3．等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 4．在等比数列中，，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 5．数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若数列是等比数列，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 8．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．数列是公比为8的等比数列 C．若，则数列的前2020项和为4040 D．若，则数列的前2020项和为 三、填空题 9．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________. 10．在数列中，，，，则该数列的通项公式______． 11．已知数列的前n项和为，且，，则__________． 四、解答题 12．已知数列的首项，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求使不等式成立的最小正整数n. 13．已知数列的前n项和． （1）证明：是等比数列． （2）求数列的前n项和． 14．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 参考答案： 1．A 【分析】先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知方程的两根之积为4， 又因为，故方程的两根的等比中项是． 故选：A 2．A 【分析】由题意得出的值后求解 【详解】由题意知表格为 2 4 6 1 2 3 1 故． 故选：A 3．C 【分析】根据题意和等比数列下标和性质得：，由对数的运算律化简所求的式子，由等比数列的性质化简求值． 【详解】解：由等比数列的性质得，， 因为，所以，所以或（舍去）， 所以 ， 故选：． 4．D 【分析】利用等比中项可得，，因此，再结合，可得解 【详解】由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：D 5．C 【分析】由，结合条件即可求出通项公式，注意验证是否成立 【详解】当时，，当时，，所以，而， 所以数列从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以， 故选：C． 6．AD 【分析】利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程，整理可得，再由等差中项的性质及通项公式求，即可判断各选项的正误. 【详解】由题设，若的公差和首项分别为，而， ∴，整理得，又公差和首项都不等于0， ∴，故D正确，C错误； ∵， ∴，故A正确，B错误. 故选：AD 7．AD 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误. 【详解】设等比数列的公比为， ，则是以为公比的等比数列，A对； 时，，则不是等比数列，B错； ，时，， 此时不是等比数列，C错； ，所以，是公比为的等比数列，D对. 故选：AD． 8．CD 【分析】由等差数列性质可判断A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及，结合等比数列的定义可判断B；写出，由定义写出的表达式，进行分组求和即可判断C；，裂项相消即可求和. 【详解】由等差数列的性质可知，，故A错误；设的公差为，则有，解得，，故，， 则数列是公比为的等比数列，故B错误；若， 则的前2020项，故C正确； 若，则的前2020项和 ，故D正确． 故选:CD． 【点睛】方法点睛: 求数列的前项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法. 9． 【分析】根据等差和等比中项的定义求出得值，即可求解. 【详解】因为是的等差中项，所以， 因为是，的等比中项，所以， ，所以. 故答案为：. 10． 【分析】构造数列，结合等比数列的通项公式，即可求得. 【详解】因为数列中，，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则，解得. 故答案为：. 11． 【分析】利用数列的递推式可得，构造等比数列，求得，从而，构造等差数列，求得答案. 【详解】由题意得，所以，解得， 又因为，于是， 因此数列是以为首项、2为公比的等比数列， 故，于是， 因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列， 故，故, 故答案为： 12．(1)证明见解析 (2)11 【分析】