4.3.1 等比列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1 等比数列的概念 （基础知识+基本题型） 知识点一 等比数列的概念 1．文字语言叙述 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示． 2． 符号语言叙述 在数列中，（其中是常数，），则是等比数列． （其中是常数，），则也是说明一个数列是等比数列的依据． 提示 从以下几方面理解等比数列的概念： （1）公比，这是必然的，也就是说，不存在公比的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数值为0的项． （2）每一项与它的前一项的比等于同一常数，是具有任意性的，但需注意是“从第二项起”． （3）每一项与它的前一项的比等于同一常数，强调的是“同一常数”． （4）对于公比，要注意它是每一项是前一项的比，次序不能颠倒． （5）常数列是等差数列，但不一定是等比数列，当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列是各项都不0的数列时，是等比数列．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么次数列为非零常数列． 知识点二 等比中项 如果在与之间插一个数,使成等比数列，那么叫做与的等比中项． 提示 （1）由等比中项的定义，知这表明，只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个．它们互为相反数． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项． （3）当“成等比数列”等价于“（均不为0），可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列． 知识点三 等比数列的通项公式 1．递推公式与通项公式 已知等比数列的首项为公比为则有 递推公式 通项公式 等比数列的通项公式主要应用于以下两个方面： （1）已知，利用通项公式可求出等比数列中的任一项； （2）由通项公式可知，已知四个量中的任意三个，可以求得另一个． 2．等比数列的通项公式的推导 方法名称 证明过程 迭代法 根据等比数列的定义，有 归纳法 累积法 根据等比数列的定义，可以得到， 把以上个等式左右两边分别相乘，得 ，即． 3．用指数函数观点看等比数列的通项公式 等比数列的通项公式可整理为．当q为不等于1的正数时，是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积．因此，等比数列中的各项所表示的点离散地分布在第一或第四象限，并且当时，这些点在曲线上． 拓展 等比数列的单调性： 当或时，是递增数列，反之也成立； 当或时，是递减数列，反之也成立； 当时，是常数列； 当时，是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）． 知识点四 等比数列的性质 等比数列的常用性质 性质1 通项公式的推广： 性质2 若为等比数列，且，则； 若，则 性质3 若，（项数相同）是等比数列，则，，， ，仍是等比数列 性质4 在等比数列中，距首末两端等距离的两项的积相等，即 性质5 在等比数列中，序号成等差数列的项仍成等比数列 拓展 利用等比数列的通项公式易证性质1、性质2． 性质3的证明如下： 设等比数列的公比为，等比数列的公比为． （1）因为，所以．又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． （3）因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． （4）因为，，所以 ．所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （5）因为，，所以．所以数列是以首项为，公比为的等比数列． 辨析 等差数列与等比数列的对比 等差数列 等比数列 不同点 （1）强调每一项与前一项的差； （2）可以为0； （3）任意两实数的等差中项唯一； （4）当 时， （1）强调每一项与前一项的比； （2）均不为0； （3）两同号实数（不为0）的等比中项有两个值； （4）当 时， 相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系； （2）公差和公比都必须是常数； （3）数列都可以由或唯一确定 转化 （1）若为各项都为正数的等比数列，则为等差数列，其中，且； （2）若为等差数列，则为等比数列； （3）非零常数列既是等差数列又是等比数列 考点一 等比数列的通项公式 例1 已知等比数列，若，，求． 解：方法1：因为，，所以． 从而解得，或，． 当时，；当时，． 故或． 方法2：由等比数列的定义，知，． 代入已知，得即即① ② 将代入①，得，所以或． 由②，得或故或． 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来．方法1是巧用等比数列的性质，先求出，再求出；方法2是运用通项公式及方程思想解方程组求，是常用的方法． 考点二 等比数列的判定与证明 例2 已知数列的前n项和，证明是等比数列，并求出通项公式． 解：因为，所以， 所以，所