4.2.1 等差数列的概念（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 一、单选题 1．已知数列满足，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ） A．3 B． C．5 D． 3．设是等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．“a，b，c成等差数列”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m个士兵，若，符合条件的m共有___________个． 10．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____． 11．设等差数列满足，，若，则项数n的最大值是______． 四、解答题 12．已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 13．已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列． 14．等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，． 参考答案： 1．C 【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值. 【详解】由，得是等差数列，. 故选：C 2．D 【分析】由求得公差. 【详解】依题意，等差数列的通项公式， ， 所以公差为. 故选：D 3．C 【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果. 【详解】解：是等差数列，，，成等差数列， ，. 故选：C. 4．C 【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可． 【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件； 若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件， 综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件， 故选：C． 5．D 【分析】利用即可整理求得公差. 【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为， 则. 故选：D. 6．ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 7．BD 【分析】设方程的四根分别为、、、，利用等差数列的基本性质结合韦达定理可求得这四个数的值，进而可求得、的值，即可得解. 【详解】设方程的四根分别为、、、， 则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为， 由等差数列的性质可得， ①若、为方程的两根，则、为方程的两根， 由韦达定理可得，可得，，则，， 此时，，则； ②若、为的两根，、为方程的两根， 同理可得，，则. 综上所述，. 故选：BD. 8．ACD 【分析】依据相邻俩项的差是否为常数逐一判断即可 【详解】设等差数列的公差为d，当时，. 对于A，，为常数， 因此是等差数列；故A正确 对于B，，不为常数， 因此不是等差数列；故B错误 对于C，，为常数， 因此是等差数列；故C正确 对于D，，为常数， 因此是等差数列.故D正确 故选：ACD. 9．10 【分析】由题意，m除3余2、除5余3、除7余4，可得m最小的项为53， 且为公差的等差数列，即可由求解. 【详解】由“三三数之，剩二”知，m是等差数列5，8，11，14，…中的项， 其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故m是等差数列8，23，38，53，…中的项， 其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故m是等差数列53，158，263，368，…中的项，可得通项公式， 令，解得，且，故符合条件的m共有10个． 故答案为：10. 10．﹣4 【分析】根据等差数列首项和第3项的值得到公差，进而得到第11项，从而求解a11的值. 【详解】因为数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列