第四章 2.1 对数的运算性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

　对数的运算 §#2.1　对数的运算性质 学业标准 1.会推导对数的运算性质．(难点) 2．掌握对数的运算性质，并能利用其进行对数的运算和化简．(重点) [教材梳理] 导学 对数的运算性质 　指数的运算法则有哪些？ [提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. 　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题2的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)，还能得到什么结论？ [提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3， 故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n， 所以am＝M，an＝N， 故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n. ◎结论形成 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R 性质 loga(M·N)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMb＝blogaM [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg(x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(a>0且a≠1，MN>0)(　　) (3)＝log2＝1.(　　) 解析　(1)令x＝y＝1，则lg(x＋y)＝lg 2>lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，不成立． (2)例如对于(－2)×(－3)>0，loga((－2)×(－3))≠loga(－2)＋loga(－3)， 因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． (3)等式的左边＝＝≠log2. 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　) A．a2＋b　　　　　 B．b＋2a C．a＋2b D．a＋b2 解析　lg 12＝lg 3＋2lg 2＝b＋2a，故选B. 答案　B 3．计算：2log510＋log50.25＝________. 解析　原式＝log5102＋log50.25＝log525＝2. 答案　2 4．计算log153－log64＋log155－2log63＝________. 解析　原式＝log153＋log155－(log64＋log69) ＝log1515－log636＝－1. 答案　－1 题型一　对数的运算性质简单应用 　(1)当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例． ①loga(M·N)＝logaM·logaN； ②loga＝； ③loga(M＋N)＝logaM＋logaN； ④loga(M－N)＝logaM－logaN. (2)计算： ①＝________. ②lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝________. [自主解答]　(1)①不成立．如M＝100，N＝10， lg(100×10)＝3≠lg 100·lg 10＝2. ②不成立．如M＝100，N＝10，lg ＝1≠＝2. ③不成立．如M＝N＝1，log22＝1≠log21＋log21＝0. ④不成立．如M＝2，N＝1，log2(2－1)＝0≠log22－log21＝1. (2)①＝＝＝1. ②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. [答案]　(1)见自主解答　(2)①1　②3 ●素养聚焦　通过应用对数的运算性质求值，提升了数学运算核心素养． ●规律方法 底数相同的对数式的化简和求值的方法 两种常用方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． [触类旁通] 1．(多选题)若a＞0且a≠1，b＞0，c＞0，n，m∈N＋，n＞1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C．loga＝logab D．logab＝－loga 解析　由对数的运算性质知，只有CD成立，故选CD. 答案　CD 题型二　对数运算性质的综合应用 题点多探 多维探究 角度1　与方程有关的对数问题 　若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为 A．4　　　　　　　 B．1或 C．1或4 D． [自主解答]　因为2lg(x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg(x－2y)2＝lg xy， 所以x2＋4y2－5xy＝0， 所以42－5＋1＝0. 解得＝，或＝1(舍)