第四章 1 对数的概念（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

#　对数的概念 学业标准 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(难点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质求值．(重点) [教材梳理] 导学1 对数的概念 　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？ 上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？ [提示]　N＝2x；能，x＝log2N. ◎结论形成 1．对数的定义：如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为常用对数，并将log10N简记为lg_N. 3．自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底数的对数称之为自然对数，并将logeN简记为ln N. 导学2 对数的性质及对数恒等式 　是不是所有的实数都有对数？为什么？ [提示]　零和负数没有对数，因为ax＝N(a＞0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数． 　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？ [提示]　设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1. 　根据对数的定义，你能推出对数恒等式＝N吗？ [提示]　因为ax＝N，x＝logaN，所以＝N. ◎结论形成 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－3)2＝9，所以log(－3)9＝2.(　　) (2)因为2x＝3，所以log32＝x.(　　) (3)log35＝log53.(　　) 解析　(1)对数的底数不能为负值． (2)应为log23＝x. (3)log35≠log53，两个是不同的对数值． 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．将3＝化为对数式正确的是(　　) 解析　3＝化为对数式：＝3，选B. 答案　B 3．已知logx16＝2，则x＝(　　) A．4　　 　 B．±4　 　　 C．256　　 D．2 解析　∵logx16＝2，∴x2＝16，即x＝±4. 又x＞0且x≠1，故x＝4，选A. 答案　A 4．＝________. 解析　＝4×4log42＝4×2＝8. 答案　8 题型一　对数的概念 　(1)若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是 A.≤x＜2　　　　　　 B.＜x＜2 C.＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3 (2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： ①2－7＝；②＝－5；③lg 1000＝3； ④ln x＝2. [自主解答]　(1)依题意得解得＜x＜2或x＞2.故选C. (2)①由2－7＝，可得log2＝－7. ②由＝－5，可得－5＝32. ③由lg 1000＝3，可得103＝1000. ④由ln x＝2，可得e2＝x. [答案]　(1)C　(2)见自主解答 ●规律方法 指数式与对数式互化的思路 1．指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 提醒：在指数式与对数式互化过程中底数要始终保持不变． [触类旁通] 1．将下列指数式与对数式进行互化． (1) ＝；(2)log4＝4； (3)lg 0.001＝－3. 解析　(1)由＝，可得log5＝－. (2)由＝4，可得()4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 题型二　利用指数式与对数式的关系求值 　求下列各式中x的值： (1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2； (3)＝x；(4)logx27＝；(5)lg 0.01＝x. [自主解答]　(1)∵4x＝5·3x，∴＝5， ∴x＝5，∴x＝ (2)∵log7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47. (3)∵＝x，∴x＝， ∴x＝－2，∴x＝－2. (4)∵logx27＝，＝32＝9. (5)∵lg 0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2. ●求解策略 利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值． [触类旁通] 2．求下列各式中的x值： (1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3. 解析　(1)∵log2x＝，∴x＝，∴x＝. (2)∵log216＝x，∴2x＝16， ∴2x＝24，∴x＝4. (3)∵logx27＝3，∴x3＝27， 即x3＝33，∴x＝3. 题型三　利用对数性质和对数恒等式求值一题多变 　求下列