第三章 3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

#　指数函数 第1课时　指数函数的概念 指数函数的图象和性质 学业标准 1.理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象．(难点) 2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题．(重点) [教材梳理] 导学1 指数函数的定义 　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ [提示]　(1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ◎结论形成 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. 导学2 指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝x的图象及y＝3x与y＝x的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ [提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ [提示]　不论底数a＞1还是0＜a＜1，图象都过定点(0,1)． (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　定义域为R，值域为{y|y＞0}，过(0,1)点，a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数． ◎结论形成 指数函数的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过定点：(0,1)，即当x＝0时，y＝1 (4)当x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1 (4)当x＜0时，y＞1； 当x＞0时，0＜y＜1 (5)在R上是增函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 (5)在R上是减函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 (a＞b＞1) (0＜a＜b＜1) (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1 (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x5是指数函数．(　　) (2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　) (3)y＝3x是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) 解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数． (2)指数函数的系数为1. (3)y＝3x是刻画指数衰减变化规律的函数模型． 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝x，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B. 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则函数的解析式为________． 解析　设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为图象经过点(2,4)， 所以f(2)＝4，即a2＝4. 因为a＞0且a≠1，得a＝2. 即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是________． 解析　∵当x∈R,4x＞0，∴y＞2. 即值域为(2，＋∞)． 答案　(2，＋∞) 题型一　指数函数的概念 　(1)下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝πx；④y＝xx.其中为指数函数的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 (2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________. [自主解答]　(1)函数y＝2×3x，y＝3x＋1，y＝xx均不符合指数函数解析式的特征，不是指数函数，而y＝πx符合指数函数的定义，是指数函数． (2)由题意a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0. 解得a＝1或a＝2，而a＝1不符合指数函数的定义，故a＝2. [答案]　(1)B　(2)2 ●规律方法 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． [触类旁通] 1．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________. 解析　设f(x)