第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

§#4.2　简单幂函数的图象和性质 学业标准 1.了解幂函数的概念．(难点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点) 3．掌握五种幂函数的性质并会应用．(重点) [教材梳理] 导学1 幂函数的概念 　y＝2x2 和y＝x2＋x是不是幂函数？ [提示]　不是，形式不符合幂函数的定义要求． 　幂函数的解析式有什么特征？ [提示]　 (1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项． ◎结论形成 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. 导学2 幂函数的图象与性质 观察下面函数图象，思考如下问题： 　在第一象限，图象有何特点？ [提示]　都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大． 　这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ [提示]　 y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝是非奇非偶函数． 　为什么幂函数在第四象限内不存在图象？ [提示]　当x＞0时，y＝xα＞0，不可能出现y＜0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象． ◎结论形成 幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1 的图象与性质. y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增　 在(－∞，0] 上单调递减， 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增　 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) 解析　(1)幂函数的图象不能出现在第四象限． (2)当α＝－1时，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数． (3)函数y＝x0的定义域为{x|x≠0}，图象是去除了一个点的直线． 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数． 答案　A 3．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则α＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析　幂函数f(x)＝xα的图象经过点， 则3α＝，解得α＝－2. 答案　A 4．函数y＝的图象大致是图中的(　　) 解析　∵函数y＝是奇函数，且α＝＞1， ∴函数图象为B. 答案　B 题型一　幂函数的概念 　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则式子4α的值为(　　) A．1　 　　 B．2　 　　 C.　 　　 D． (2)已知函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则f＝________. [自主解答]　(1)因为幂函数f(x)＝xα的图象过点，所以α＝，解得α＝，故4α＝2. (2)函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数， 则3－m＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x－1， 所以f(x)＝，所以f＝＝2. [答案]　(1)B　(2)2 ●规律方法 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． [触类旁通] 1．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 解析　根据幂函数的定义得 m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 答案　f(x)＝x3 题型二　幂函数的图象和性质 一题多变 　已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． [自主解答]　因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即