第二章 4.1 函数的奇偶性（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

　函数的奇偶性与简单的幂函数 §#4.1　函数的奇偶性 学业标准 1.了解函数奇偶性的含义．(难点) 2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点) 3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(难点) [教材梳理] 导学 函数的奇偶性 　奇函数、偶函数的定义域有什么特征？ [提示]　由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？ [提示]　若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数． 　从函数图象看，奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致？ [提示]　奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反． ◎结论形成 1．奇函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然． 2．偶函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a＞0)等． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) (3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．(　　) 解析　(1)不一定，如函数f(x)＝. (2)若f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)． (3)由奇函数、偶函数图象的特征可知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　　　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数． 答案　C 3．函数f(x)＝－x的图象关于________对称． 解析　定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)， ∴函数为奇函数，∴图象关于原点对称． 答案　原点 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________. 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3. 答案　－3 题型一　判断函数的奇偶性 一题多解 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝x2＋1； (4)f(x)＝＋. [自主解答]　(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． (2)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数． (3)函数的定义域为R. 解法一　∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数． 解法二　画出y＝x2＋1的图象如上图，由上图可知其图象关于y轴对称． 故函数f(x)＝x2＋1是偶函数． (4)∵函数的定义域为{－1,1}且f(x)＝0， f(－1)＝0，f(1)＝0， ∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)． ∴函数f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数． ●素养聚焦　通过奇偶性的判断和证明，把逻辑推理和直观想象等核心素养体现在解题过程中． ●易错警示 1．本题(1)常因忽略定义域的判断而盲目认为f(x)＝2x为奇函数． 2．判断函数奇偶性要树立定义域优先的原则，在此基础上进一步分析f(－x)与f(x)的关系，并就此下结论． [触类旁通] 1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　 　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析　f(x)＝－1＋关于(－1，－1)中心对称．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后函数关于(0,0)中心对称．所以y＝f(x－1)＋1为奇函数． 答案　B 题型二　利用函数的奇偶性求解析式 一题多变 　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． [自主解答]　当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x