第二章 3 函数的单调性和最值（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

#　函数的单调性和最值 学业标准 1.理解函数的单调性和最值的概念． 2．掌握用定义证明函数单调性的步骤及简单应用．(重点) 3．会借助函数的单调性求最值或解不等式．(难点) [教材梳理] 导学1 函数的单调性 观察函数f(x)＝x2的图象，完成下列思考． 　怎样描述函数f(x)＝x2随着自变量x值的变化，函数值f(x)的变化情况？ [提示]　在(－∞，0]上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐减小；在[0，＋∞)上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐增大． 　函数f(x)＝x2在定义域上是单调函数吗？ [提示]　不是．并不是所有函数都有单调性．只有符合单调性定义的函数才有单调性． 　函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”，反之是否也成立呢？ [提示]　函数单调性给出了变量与函数值之间的互化关系，比如f(x)在定义域I上是减函数，若x1，x2∈I，则f(x1)＞f(x2)⇔x1＜x2. 　观察函数y＝的图象，反比例函数y＝的图象如下图，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？ [提示]　不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满足x1＜x2，但y1＝－1，y2＝1，y1＞y2不成立． ◎结论形成 1．单调区间 设函数y＝f(x)的定义域是D.I是定义域D上的一个区间： 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间． 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． 2．增函数、减函数 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数． 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数. 导学2 函数的最大(小)值 　如果函数f(x)对于定义域上的任意x都满足f(x)≤M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？ [提示]　不一定．如函数f(x)＝－x2≤1恒成立，但是1不是函数的最大值． ◎结论形成 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(或m)满足． 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (3)∀x∈D，都有f(x)≥m； (4)∃x0∈D，使得f(x0)＝m 结论 最大值 最小值 函数的最大值和最小值统称为最值 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝2x2，若f(－1)＜f(2)，则函数f(x)在R上是增函数．(　　) (2)函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．(　　) (3)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．(　　) (4)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上是单调递减的，那么函数的最大值是f(b)．(　　) 解析　(1)函数f(x)＝2x2在(0，＋∞)上单调递增． (2)函数f(x)＝的减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用“∪”表示． (3)函数的最大值是唯一的． (4)最大值为f(a)． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　) A．y＝3－x　　　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3 解析　画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数． 答案　B 3．函数y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(　　) A．1，　　　 B.，1 C.， D.， 解析　因为y＝在[2,4]上是单调递减的， 所以当x＝2时，取最大值y＝1； 当x＝4时取最小值y＝. 答案　A 4．下图为y＝f(x)的图象，则它的单调递减区间是________． 解析　由单调性定义可得f(x)的单调递减区间为[－2,1]和[3，＋∞)． 答案　[－2,1]和[3，＋∞) 题型一　函数单调性的判断与证明 一题多变 　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． [自主解答]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝. ∵2＜x1＜