第一章 3.1 不等式性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

§#3.1　不等式的性质 学业标准 1.掌握不等式的性质并能利用不等式的性质比较数与式的大小或证明简单的不等式．(重点) 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) [教材梳理] 导学1 基本事实 ◎结论形成 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜b. 依据 如果a＞b，那么a－b＞0. 如果a＜b，那么a－b＜0. 如果a＝b，那么a－b＝0 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系 导学2 不等式的性质 　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立，当c＝0时，3c＝2c；当c＞0时，3c＞2c；当c＜0时，3c＜2c. 　如果a＞b，那么a2＞b2成立吗？ [提示]　不一定成立． 　对于不等式的性质，同向不等式是否相减也成立？ [提示]　不一定成立，例如5＞3且4＞1时，则5－4＞3－1是错的． ◎结论形成 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 2 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 3 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 4 同向相加 a＞b, c＞d⇒a＋c＞b＋d 5 同向相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0, c＜d＜0⇒ac＜bd 6 推论 a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2. (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＞b－d　　　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c 解析　因为b＜a，d＜c，所以b＋d＜a＋c. 答案　C 3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax 解析　因为x＜a＜0，不等号两边同时乘a，则ax＞a2；不等号两边同时乘x，则x2＞ax，故x2＞ax＞a2. 答案　B 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N 题型一　用不等式组表示不等关系 　(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ [自主解答]　(1)v≤40. (2) ●素养提升 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式． [触类旁通] 1．用不等式表示下列关系： (1)x为实数，而且大于1不大于6； (2)x与y的平方和不小于2且不大于10. 答案　(1)1＜x≤6 (2)2≤x2＋y2≤10 题型二　比较两个数(式)的大小一题多解 　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [自主解答]　解法一　(作差法) －(＋) ＝＋＝＋ ＝＝. ∵a，b为正实数， ∴＋＞0，＞0，(－)2≥0， ∴≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法二　(作商法) ＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋＞0，＋＞0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法三　(平方后作差) ∵2＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2， ∴2－(＋)2＝. ∵a＞0，b＞0，∴≥0， 又＋＞0，＋＞0， 故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． ●规律方法 数式大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号.其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号. [触类