第一章 2.2 全称量词与存在量词（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

§#2.2　全称量词与存在量词 学业标准 1.理解全称量词和存在量词的意义．(难点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 3．能判断含有一个量词的命题的真假．(重点) [教材梳理] 导学1 全称量词命题与存在量词命题 　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是什么？ [提示]　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词． 　如何判定一个全称量词命题的真假？ [提示]　要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． 　如何判定一个存在量词命题的真假？ [提示]　要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． ◎结论形成 1．全称量词命题与全称量词 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题. 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 2．存在量词命题与存在量词 在给定集合中，断言某些元素都具有一种性质的命题叫作存在量词命题. 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”. 导学2 全称量词命题与存在量词命题的否定 　如何写出一个含有量词的命题的否定？ [提示]　一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． ◎结论形成 全称量词命题与存在量词命题否定 p 否定 结论 全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.(　　) (2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) (3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　　) 解析　(1)命题p与¬p互为否定． (2)存在量词命题p与其否定¬p一真一假． (3)存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”． 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　) A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．梯形的对角线不相等 C．∃x0∈R, ＝x0 D．对数函数在定义域上是单调函数 解析　全称命题有A，B，D三项，C为特效命题，对于A，有a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A为假命题；对于B，等腰梯形的对角线相等，B为假命题；对于D，由y＝logax当a＞1时，在x∈(0，＋∞)上为增函数，当0＜a＜1时在x∈(0，＋∞)上为减函数，故D为真命题． 答案　D 3．下列全称量词命题为真命题的是(　　) A．所有的质数都是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数，x2也是无理数 D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案　B 4．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为(　　) A．∃x∈R，x2＋1＞0　　 B．∃x∈R，x2＋1≤0 C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 解析　根据命题p可得¬p：∃x∈R，x2＋1≤0. 答案　B 题型一　全称量词命题和存在量词命题的概念及真假判断 　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. [自主解答]　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． ●规律方法 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [触类旁通] 1．判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈Z，使3x＋4＝0； (3)至少有一组正整数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤3. 解析　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)由于3x＋4＝5成立时，x＝∉Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5. 所以存在量词命题“∃x∈Z，使