4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　数列的递推公式与前n项和 　 斐波那契，意大利著名数学家。保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》。《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题：如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子。假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，每月月末的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，这就是著名的斐波那契数列。 【问题】　若Fn表示第n个月的兔子的总对数，那么数列的递推关系是什么呢？ 提示：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。 2．掌握数列的前n项和Sn与通项公式an的关系。 1.递推公式是数列的一种给出形式，体会递推公式与通项公式的关系。 2．an与Sn的关系中，n＝1这种特殊情况不可忽略。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 微提醒 (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式。 (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项。 2．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an。 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。 显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是我们有an＝ 微思考 1．所有数列都有递推公式吗？ 提示：不是，例如的近似值排成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…就没有递推公式。 2．由数列的递推公式能否求出数列的通项公式？ 提示：不一定，有的数列的递推公式不能求出它的通项公式。 3．对于n∈N*，an＝Sn－Sn－1是否一定成立？ 提示：不一定，n≥2时，an＝Sn－Sn－1，但n＝1时，a1＝S1，不一定适合上式。 初试身手 1．符合递推公式an＝an－1的数列是(　　) A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，… C.，2，，2，… D．0，，2,2，… 解析　B项中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1。 答案　B 2．已知a1＝1，an＝a＋1(n≥2)，则a5＝________。 解析　由a1＝1，an＝a＋1(n≥2)，得a2＝2，a3＝5，a4＝26，a5＝677。 答案　677 3．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝________。 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1。当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)。 答案　4n－1 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 由递推公式求数列的项 【例1】　设数列{an}满足写出这个数列的前5项。 解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝。 递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系。对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则需要知道首项(或前几项)，才能依次求得其他各项。若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性。 【变式训练】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？ 解　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…。 规律：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6。 证明如下： 因为an＋2＝an＋1－an， 所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an。 所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an。 所以数列{an}是周期数列，且T＝6。 所以a2 018＝a336×6＋2＝a2＝2。 类型二 由递推公式求通项公式 命题方向1：累加法求通项公式 【例2】　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求数列的通项公式。 解　因为an＋1－an＝， 所以a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…；an－an－1＝； 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝