4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　等差数列的性质及应用 　 如图，第一层有一个球，第二层有2个球，…最上层有16个球。 【问题】　每隔一层的球数依次是多少？ 每隔二层呢？每隔三层呢？ 这些球数组成的数列有什么特点？ 提示：每隔一层的球数依次为1,3,5,7,9,11,13,15；每隔二层的球数依次为1,4,7,10,13,16；每隔三层的球数依次为1,5,9,13。这些球数组成的数列为等差数列。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 1.从等差数列的定义、通项公式出发，理解等差数列的性质，能运用等差数列的性质简化运算。 2．会用等差数列解决一些实际问题。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。 (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak。 (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…。 2．等差数列性质的推广 若{an}是公差为d的等差数列，则 (1)an＝am＋(n－m)d； (2){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (3){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (4){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列； (5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列。 3．等差数列在实际中的应用 解答数列应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模，将实际问题转化为数学问题；(3)判型，分清该数列是否为等差数列；(4)求解，按照等差数列的有关知识求出问题的数学解；(5)还原，将结果还原到原问题中。 微思考 1．已知等差数列{an}，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是否为等差数列？若取偶数项呢？ 提示：设等差数列{an}的公差为d，其奇数项为a1，a3，a5，…，是公差为2d的等差数列。同样，偶数项也是公差为2d的等差数列。从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。 2．d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ 提示：等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点。d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝。当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝。 初试身手 1．已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a5＝1，则a21的值为(　　) A．20 B．18 C．15 D．17 解析　因为a7＋a19＝a5＋a21，所以19＝1＋a21，解得a21＝18。 答案　B 2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 解析　2an＋1－3bn＋1－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝4－3＝1。 答案　D 3．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8。若p－q＝10，则ap－aq＝________。 解析　设等差数列{an}的公差为d>0。 因为a1＝1，且a2＋a6＝a8，所以2＋6d＝1＋7d，解得d＝1。若p－q＝10，则ap－aq＝10d＝10。 答案　10 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 an＝am＋(n－m)d的应用 【例1】　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式。 解　设等差数列{an}的公差为d， 因为a8＝a2＋(8－2)d， 所以17＝5＋6d，解得d＝2。 又因为an＝a2＋(n－2)d， 所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*。 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量。令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担。 【变式训练】　已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________。 解析　解法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8。所以b8＝2×8－8＝8。 解法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8。 答案　8 类型二 其他性质的应用 【例2】　(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值。 解　解法一：设{an}的公差为d， 则解得 故a