4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 　 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 【问题】　1.你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ 提示：9,92,93,94,95,96,97,98。 2．根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？ 提示：从第2项起，每一项与它的前一项的比都是9。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2．体会等比数列与指数函数的关系。 1.类比等差数列的定义、通项公式的学习，掌握等比数列的定义、通项公式及应用。 2．类比等差中项理解等比中项的定义，即可掌握等比中项的概念及应用。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)。 微提醒 (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项。 (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”。 (3)“同一个常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(n≥2)或q＝。特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列。 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。此时，G2＝ab。 微提醒 (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项。 (2)G2＝ab，即等比中项有两个，且互为相反数。 3．等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1。 微思考 1．定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？ 提示：不可以。因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”。 2．任意两个实数a，b都有等比中项吗？ 提示：不一定，只有a，b同号时才有等比中项。 3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？ 提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)。数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上。反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{an}。 初试身手 1．判断下列数列是否为等比数列。如果是，写出其公比q。 ①1，，，，，…； ②10,10,10,10,10，…； ③，2，3，4，…； ④1,0,1,0,1,0，…。 解　①不是等比数列；②是等比数列，公比为1；③是等比数列，公比为；④不是等比数列。 2．2＋和2－的等比中项是________。 解析　设等比中项为G，则G2＝(2＋)·(2－)＝1，G＝±1。 答案　±1 3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，则a4＝________。 解析　因为＝3，所以{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，所以a4＝a1q3＝2×33＝54。 答案　54 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等比数列的通项公式及应用 【例1】　在等比数列{an }中， (1)已知a3＝9，a6＝243，求a5。 (2)已知a1＝，an＝，q＝，求n。 解　(1)解法一：由a3＝9，a6＝243， 得a1q2＝9，a1q5＝243。 所以q3＝＝27，所以q＝3。所以a1＝1。 所以a5＝a1q4＝1×34＝81。 解法二：因为a6＝a3q3， 所以q3＝＝＝27， 所以q＝3。 所以a5＝a3q2＝9×32＝81。 (2)因为a1＝，q＝，an＝， 所以＝×n－1。 所以n－1＝＝3。 所以n－1＝3，所以n＝4。 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项公式常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项公式。 【变式训练】　在等比数列{an}中， (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n。 (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1。 (3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式。 解　(1)因为an＝a1·qn－1， 所以4·2n－1＝128， 所以2n－1＝32＝25， 所以n－1＝5，n＝6。 (2)a1＝＝＝5。 (3)a3＝a1·q2，即8＝2q2