4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　等比数列的性质及应用 　 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项。 【问题】　1.写出这个数列的前4项，并归纳其通项公式。 提示：1,3,9,27，其通项公式为an＝3n－1。 2．计算a1×a7，a2×a6，a3×a5的值，你能总结出什么规律吗？ 提示：a1×a7＝a2×a6＝a3×a5＝729。若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.熟悉等比数列的有关性质。 2．掌握等比数列在实际中的应用。 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用。 1.学习本节内容要类比等差数列的性质与应用，比较它们的异同。 2．本节内容计算量较大，培养数学运算的核心素养。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等比数列的常用性质 (1)an＝qn－m·am(m，n∈N*)。 (2)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al。 特别地，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a。 (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列。 (4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 (5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{anbn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|。 (6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2an－1＝a3·an－2＝…。 2．等比数列的单调性 3.等比数列的实际应用 实际生活中常会遇到增长率问题，如果增长量是个常量，则与等差数列有关；如果增长率是个常量，则与等比数列有关。 微思考 1．已知等比数列{an}，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是否为等比数列？若取偶数项呢？ 提示：设等比数列{an}的公比为q，其奇数项为a1，a3，a5，…，是公比为q2的等比数列；同样，偶数项也是公比为q2的等比数列。从等比数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等比数列。 2．当q＝1，q<0时，分别是什么数列？ 提示：q＝1时是常数列，q<0时是摆动数列。 3．设数列是各项为正数的等比数列，那么{lg an}还是等比数列吗？ 提示：不是，{lg an}是等差数列。 初试身手 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}中，a2·a6＝a。(×) 解析　a2·a6＝a。 (2)当等比数列的公比q>1时，一定是递增数列。(×) 解析　当数列的公比q>1时，若a1<0，则是递减数列。 (3)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列。(√) 解析　a1，a4，a7，a10，…是以a1为首项，q3为公比的等比数列。 2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析　由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列。 答案　D 3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝10，则a8·a9·a10·a11＝________。 解析　因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝10，所以a8·a9·a10·a11＝102＝100。 答案　100 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等比数列性质的应用 【例1】　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．±5 解析　解法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5。 解法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5。又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5。 答案　A (2)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 解析　解法一：由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝aq2n－2＝22n，所以(a1qn－1)2＝(2n)2。又an>0，所以a1qn－1＝2n。故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝l