4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 　 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器历经23天，携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆。 【问题】　小李同学得知这条消息后用10分钟将此消息传给两个人，这两个人又用10分钟将此消息各传给未知此消息的另外两个人，如此进行下去，40分钟后，这条消息可传遍多少人(如图所示)? 提示：1＋2＋22＋23＋24＝＝31(人)。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式。 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 1.类比等差数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式的推导方法及应用。 2．利用方程思想、整体思想、分类讨论思想及等比数列的性质解决等比数列求和的问题。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 微提醒 在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1。 2．等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q。 (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)。 微思考 1．等比数列的前n项和公式Sn＝的适用条件是什么？ 提示：公比q≠1。 2．若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？ 提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na。 3．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列吗？ 提示：是。将等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0，且q≠1)变形为Sn＝－qn(q≠0，且q≠1)，若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn。 初试身手 1．数列{2n－1}的前99项和为(　　) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 解析　数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1。 答案　C 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析　由S5＝＝44，得a1＝4。 答案　A 3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝________。 解析　＝×＝＝。 答案　 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 等比数列前n项和的运算 【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn。 (1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)S3＝，S6＝，求an及Sn。 解　(1)显然q≠1， 由Sn＝，得＝， 所以q＝。又因为an＝a1qn－1， 即8×n－1＝，所以n＝6。 (2)解法一：由S6≠2S3知q≠1， 由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，所以q3＝8，即q＝2。 代入①得a1＝， 所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－。 解法二：由S3＝a1＋a2＋a3，得S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3。 所以1＋q3＝＝9，所以q3＝8，即q＝2。 代入＝，得a1＝， 所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－。 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的。这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用。 【变式训练】　已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8。 解　解法一：由题意，得 化简得 ①÷②，得q2－1＝3，负值舍去， 所以q2＝4，所以q＝2或q＝－2。 当q＝2时，代入①得a1＝1， 所以S8＝＝255。 当q＝－2时，代入①得a1＝－1。 所以S8＝＝85。 综上可知S8＝255或S8＝85。 解法二：由等比数列的性质得a3·a5＝a＝64， 所以a4＝±8。 当a4＝8时，因为a6－a4＝24，所以a6＝32， 所以q2＝＝4，所以q＝±2。 当a4＝－8时，a6－a4＝24，所以a6＝16。 所以q2＝＝－2，无解。故q＝±2。 当q＝2时，a1＝＝1，S8＝＝255。 当q＝－2时，a1＝＝－1，S8＝＝85。 综上可知，S8＝255或S8＝85。 类型二 错位相减法求和 【例2】　已知数列{an}满足an＋2＋an＝2an＋1(