2.3.3 直线与圆的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.3.3　直线与圆的位置关系 学业标准 1.理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点、难点) 3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点) [教材梳理] 导学1 几何法判断直线与圆的位置关系 　在初中几何中学过直线与圆有几种位置关系？ [提示]　三种：相交、相切、相离． ◎结论形成 如果⊙C的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则： 直线l与⊙C相交⇔d＜r； 直线l与⊙C相切⇔d＝r； 直线l与⊙C相离⇔d＞r. 导学2 代数法判断直线与圆的位置关系 　当b为何值时，方程2x2＋2bx＋b2－2＝0有两个不相等的实数解？有一个实数解？无解？ [提示]　Δ＝(2b)2－4×2(b2－8)＝－4(b＋2)(b－2)． (1)当－2＜b＜2时，Δ＞0，方程有两个不相等实根； (2)当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程有两个相等实根； (3)当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程没有实根． ◎结论形成 代数法 由消元得到一元二次方程的判别式Δ， Δ＞0⇔直线l与圆C相交， Δ＝0⇔直线l与圆C相切， Δ＜0⇔直线l与圆C相离． [基础自测] 1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D.无法判断 解析　圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径r＝1，∴d＝r，故直线与圆相切． 答案　B 2．(多选题)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．－1 B.－ C. D. 解析　设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±. 答案　BD 3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．1 B.2 C．4 D.4 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 答案　C 4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是 ． 解析　因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离， 所以 ＞，解得m＜－2或m＞2. 答案　m＜－2或m＞2 题型一　直线与圆的位置关系判断 一题多解 　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解析]　解法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 解法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． [规律方法] 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [触类旁通] 1．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点． 解析　(1)因为直线平分圆， 所以圆心(1,1)在直线y＝x＋m上，故有m＝0. (2)因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以d＝＝＝2，m＝±2， 即m＝±2时，直线l与圆相切． (3)直线与圆有两个公共点，d＜r，即＜2， 所以－2＜m＜2时有两个公共点． 题型二　直线与圆相切的有关问题 　(2021·北京二中高一期末)求过点与圆A：x2＋y2－2x－2y＋3＝0相切的直线方程． [解析]　圆A：x2＋y2－2x－2y＋3＝0化为标准方程为2＋2＝1， 所以当过点的直线斜率不存在时，直线l：x＝2与圆相切； 过点的直线斜率存在时，设其为k，则直线l：y＝k， 因为l与圆A相切，