2.3.2 圆的一般方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.3.2　圆的一般方程 学业标准 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点) 3.灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点) [教材梳理] 导学 圆的一般方程 　把圆的标准方程(x－1)2＋(x－3)2＝16中的括号展开，得到的方程形式是什么？ [提示]　x2＋y2－2x－6y－6＝0. ◎结论形成 1．圆的一般方程 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. 在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①的形式，其中D，E，F都是常数，形如①式的圆的方程称为圆的一般方程． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得 2＋2＝　② (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以为圆心，为半径的圆的方程． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，方程②不是圆的方程即只表示一个点－，－. (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程没有实数解，方程②不是圆的方程，它不表示任何图形． [基础自测] 1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．3 D.－3 解析　∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案　B 2．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　　) A．(2,0)，5 B.(2,0)， C．(0,2)， D.(2,2)，5 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径r＝. 答案　B 3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为 ． 解析　由圆的方程可求得圆的半径r＝＝＝，所以圆的周长为2π. 答案　2π 4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为 ． 解析　该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为2＋(y－2)2＝.化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0. 答案　x2＋y2－3x－4y＝0 题型一　圆的一般方程的概念 　(1)方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是(　　) A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆 B．以(1,2)为圆心，为半径的圆 C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆 D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆 (2)(多选题)已知方程x2＋y2＋kx＋(1－k)y＋＝0表示圆，则实数k的取值可以是(　　) A．－3　　　　　　　　 B．－1 C．2 D.4 [解析]　(1)由x2＋y2＋2x－4y－6＝0 得(x＋1)2＋(y－2)2＝11. 所以x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是以(－1,2)为圆心，为半径的圆，故选D. (2)因为方程x2＋y2＋kx＋(1－k)y＋＝0表示圆， 所以k2＋(1－k)2－4×＞0， 即2k2－2k－12＞0，∴k2－k－6＞0， 解得k＞3或k＜－2.故选A，D. [答案]　(1)D　(2)AD [规律方法] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 1配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆. 2运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆. [提醒] 在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. [触类旁通] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解析　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 题型二　求圆的一般方程一题多变 　(1)过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程为 ． (2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． [解析]　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为， 所以　　所以 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，