2.2.4 点到直线的距离（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.2.4　点到直线的距离 学业标准 1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(重点) 2.会求两条平行直线的距离．(重点) 3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．(难点) [教材梳理] 导学1 点到直线的距离 　(1)直线外一点和直线上的点的连线中哪条线段最短？ (2)点A(1,2)到直线x＝5和y＝5的距离分别是多少？ [提示]　(1)垂线段． (2)4和3. ◎结论形成 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d： (1)d＝. (2)v＝(A，B)是直线l的法向量，P1(x1，y1)是直线l上的任意一点，d＝. 导学2 两条平行直线间的距离 　直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)， C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ [提示]　点A，B，C到直线l2的距离分别为，，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． ◎结论形成 两平行线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝(A，B不全为0，C1≠C2)． [基础自测] 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A.　　　　　　 B. C．2 D. 解析　由点到直线的距离公式得 d＝＝. 答案　D 2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　　) A. B. C．5 D. 解析　由两平行线间的距离公式可得 d＝＝＝. 答案　A 3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　) A. B.－ C．－ D.或－ 解析　由点到直线的距离公式得＝1， 解得m＝或－. 答案　D 4．直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于 ． 解析　直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0. 故两直线平行，且两直线间的距离为 d＝＝＝. 答案　 题型一　点到直线的距离公式的应用 　(1)点P0(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为(　　) A.　　　　　　　 B．2 C. D.2 (2)(多选题) 已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于3，则实数m等于(　　) A. B.－ C．－ D.0 (3)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程． [解析]　(1)由点到直线的距离公式得 d＝＝＝2. (2)由点到直线的距离公式得＝3， 即|m＋3|＝3，解得m＝或m＝0， 故选A，D. (3)因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在， 所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0， 又因为原点到直线的距离等于， 所以＝. 解得k＝－7或k＝－1. 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 答案　(1)B　(2)AD　 (3)x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0 [规律方法] 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [触类旁通] 1．(1)已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A. B.2－ C.－1 D.＋1 (2)(一题多解)求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． 解析　(1)由点到直线的距离公式得 ＝1，∴|a＋1|＝， ∴a＝－1或a＝－－1， 因为a＞0，∴a＝－1，故选C. (2)解法一 　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝， 即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 解法二　显然所求直线的斜率存在． 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得　或 所以　或 所以所求直线l的方程为 y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 答案　(1)C　(2)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0 题型二　两平行线间的距离公式的应用 　(1)若直线l1：x＋by＋6＝0与l2：(b－2)x＋3y＋2b＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. [解析]　因为直线l1：x＋by＋6＝0与l2：(b－2)x＋3y＋2b＝0平行， 所以b＝3，解得b＝－1或b＝3， 当b＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y