2.2.2 直线的方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#2.2.2　直线的方程 学业标准 1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点) 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点、难点) 3.灵活选用恰当的方式求直线方程．(重点) [教材梳理] 导学1 直线的点斜式方程与斜截式方程 　直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0，y0之间的关系． [提示]　当x≠x0时，k＝. ◎结论形成 1．直线的方程和方程的直线 一般如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线． 2．已知P0(x0，y0)是直线l上一点，求直线l的方程 (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0. (2)如果直线l的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为：y－y0＝k(x－x0)．因为方程由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程． (3)已知P0(x0，y0)是直线l上的一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量a＝(1，k)；设P(x，y)为直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与a共线．因为＝(x－x0，y－y0)，所以y－y0＝k(x－x0)． 3．直线的斜截式方程 (1)截距：一般当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距． (2)直线的斜截式方程：已知直线的斜率为k，截距为b，方程y＝kx＋b由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程． 4．总结：平面直角坐标系中的直线，要么可以写成x＝x0的形式，要么可以写成y＝kx＋b的形式，正因为如此，在求直线的方程时，如果直线的斜率存在，最后总可将直线的方程写成斜截式的形式． 导学2 直线的两点式方程 　根据条件写出直线的方程： (1)经过两点P1(－1,6)，P2(2,9)； (2)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(其中x1≠x2，y1≠y2) [提示]　(1)y－6＝1×(x＋1)； (2)y－y1＝(x－x1)． ◎结论形成 1．直线的两点式方程 (1)直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，设P(x，y)为平面直角坐标系中一点，则＝(x－x1，y－y1)，P在直线l2上的充要条件是与共线，即(x－x1)(y2－y1)＝(x2－x1)(y1－y2)这就是直线l的方程． (2)当x2－x1≠0且y1－y2≠0，直线l的方程为 ＝. 这种形式的直线方程由直线l上的两点确定，称为直线的两点式方程． 2．直线的截距式方程 直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则得直线方程为＋＝1. 导学3 直线的一般式方程 　(1)关于x，y的二元一次方程的一般形式是什么？ (2)斜率存在的直线方程y＝kx＋b，斜率不存在的直线方程x＝x0能写成二元一次方程的形式吗？ [提示]　(1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0； (2)直线y＝kx＋b化为kx－y＋b＝0.直线x＝x1化为x－0·y－x1＝0. ◎结论形成 1．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2＋B2≠0)． 2．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) (1)如果B≠0，则方程可以化为：y＝－x－.它表示的斜率为－，且截距为－的直线． (2)如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在，且过点的直线． [基础自测] 1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　) A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 解析　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B. 答案　B 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析　方程变形为y＋2＝－(x＋1)． ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案　C