1.2.5 空间中的距离（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.2.5　空间中的距离 学业标准 1.掌握向量长度计算公式． 2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距离和面到面的距离. [教材梳理] 导学1 空间中两点之间的距离 　在义务教育阶段，已经学过了点与点、点与直线、两平行线之间的距离，根据定义可以知道，这些距离都可以归结为什么与什么的距离？ [提示]　都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度． ◎结论形成 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的 线段长，因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离，因此可通过向量来求空间中两点之间的距离. 导学2 点到直线的距离 　点与直线上的点之间的连线段中哪个最短？ [提示]　垂线段． ◎结论形成 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过点A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 导学3 点到平面的距离 　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1.问： (1)点A到平面A1B1C1D1的距离？ (2)点A到平面BB1D1D的距离？ [提示]　(1)1；(2). ◎结论形成 1．点到平面的距离：给定空间中的平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 2．若A是平面α外的一点，B是平面α内的一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝. 导学4 相互平行的直线与平面之间，相互平行的平面与平面之间的距离 　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1. (1)线段AB所在直线与线段AD1所在直线和线段B1C所在直线有什么关系？ (2)线段AD1所在直线和线段B1C所在直线的公垂线段与AB有什么关系？ [提示]　(1)都垂直；(2)平行且相等． ◎结论形成 1．定义 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段，显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． 2．向量法求直线与平面，平面与平面的距离 (1)直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和平面α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝. (2)平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A，B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝. [基础自测] 1．在四面体P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是(　　) A．7　　　　　　　　 B．8 C．9 D.10 解析　以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7. 答案　A 2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(　　) A. B. C. D. 解析　∵M点坐标为， ∴|MC|＝＝. 答案　C 3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10 B.3 C. D. 解析　＝(－1，－2,4)，d＝＝. 答案　D 4．设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90° ，PB，PC分别与α成45° 和30° 角，PA＝2，则PA与BC的距离是 ；点P到BC的距离是 ． 解析　作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC， ∴PA⊥AD. ∴AD是PA与BC的公垂线，易得AB＝2，AC＝2，BC＝4，AD＝，连接PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD＝. 答案　　 题型一　空间中两点间的距离 　(多选题)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P的长度为(　　) A.　　　　　　　 B. C．3 D. [解析]　以D为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，E(1,2,0)，F(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(－1,2,0)，＝(－2,2,1)，设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得n＝(2,1,2)， 设P(a,2，c)，0≤a≤2, 0≤c≤2， 则