1.2.2 空间中的平面与空间向量（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.2.2　空间中的平面与空间向量 学业标准 1.能用向量语言描述平面，理解平面的法向量．(重点) 2.能用向量语言表述直线与平面，平面与平面的垂直与平行关系．(重点) 3.掌握三垂线定理及其逆定理并能解决相关问题．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 平面的法向量 　在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)边AA1与平面ABCD什么关系？ (2)边A1B1与平面ABCD什么关系？ (3)边AB与平面BCC1B1什么关系？ [提示]　(1)垂直；(2)平行；(3)垂直． ◎结论形成 1．平面法向量的概念 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线与平面α垂直．则称n为平面α的一个法向量，此时称n与平面α垂直，记作n⊥α. 2．平面法向量的性质 (1)直线l，平面α，m是直线l的任意一个方向向量． l⊥α⇔m⊥α，m是平面α的法向量． (2)如果n是平面α的一个法向量，任意实数λ≠0，则λn也是平面α的一个法向量，并且平面α的任意两个法向量都平行． (3)n是平面α的法向量，A为平面α上的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量⊥n，即·n＝0，从而可知平面α的位置由n和A确定． 3．利用平面法向量判定直线与平面，平面与平面的位置关系 (1)v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量．n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α或l⊂α. (2)n1是平面α1的法向量，n2是平面α2的法向量．n1⊥n2⇔α1⊥α2.n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合. 导学2 三垂线定理及其逆定理 　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)BD⊥AC1吗？ (2)l是平面ABCD内任意直线，若l⊥AC1，则AC⊥l吗？ [提示]　(1)垂直；(2)垂直． ◎结论形成 1．射影的概念 已知平面α以及一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影，(也称为投影)，如图1，图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F ′，叫做图形在平面α内的射影． 图1　　　　　　　　图2 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直． (3)如图2，AB是平面α的斜线，AO⊥α，BO是AB在α内的射影，l⊂α，若l⊥BO，则l⊥AB；反之，若l⊥AB，则l⊥BO. 3．三垂线定理及其逆定理的理解 (1)三垂线定理叙述的是平面内直线与平面的斜线及斜线在平面内的射影三者之间的垂直关系． (2)这里平面内的直线与平面的斜线可以相交，也可以异面． (3)三垂线定理及其逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明． (4)三垂线定理及其逆定理在应用时要清楚以下问题： ①从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”，其逆定理的条件是“和斜线垂直”． ②从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，逆定理正好相反． [基础自测] 1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3,1)　　　　　　　　 B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D.(－2,3，－1) 解析　一个平面的所有法向量共线． 答案　D 2．下列命题中，正确的命题是(　　) A．若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b B．若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b C．若a是平面α的斜线，b是平面α内的一条直线，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b D．若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在另一平面β内的射影 ，则a⊥b 解析　根据三垂线定理判断C正确，故选C. 答案　C 3．若直线的方向向量为u1＝，平面的法向量为u2＝(3,2，z)，则当直线与平面垂直时z＝ . 解析　由已知得u1∥u2.∴＝＝， ∴z＝. 答案　 4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝ . 解析　∵α∥β，∴u1∥u2，∴＝＝，解得y＝1，z＝－4，∴y＋z＝1－4＝－3. 答案　－3 题型一　求平面的法向量 　(多选题)平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(－1,1,0)　　　　　　　　 B．(1,0,1) C．(－2,2,0) D.(0,2,2) [解析]　平面α经过三点O(0,0,0)，