1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学业标准 1.能用向量语言描述点与空间向量，直线与直线，理解直线的方向向量．(重点) 2.能用向量语言表述直线与直线平行，直线与直线的夹角．(重点、难点) 3.能用向量方法解决直线与直线平行，直线与直线的夹角问题．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 空间中的点与空间向量 　在如图所示的四面体A­BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？ [提示]　借助向量，，的不同，来描述A，B，C在空间中是不同点． ◎结论形成 1．一般如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 2．空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定. 导学2 空间中的直线与空间向量 　在平面向量中如何用向量法证明AB∥CD? [提示]　要证明AB∥CD，证明∥即可，同时注意AB，CD是否共线． ◎结论形成 1．直线的方向向量 如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 2．直线的方向向量的理解 (1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量； (2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (3)如果v为直线的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在唯一实数λ，使得＝λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定； (4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 导学3 空间中两直线所成的角 　(1)空间中任意两条直线所成的角(即它们之间的夹角)的大小都是确定的吗？ (2)空间中两条相交直线所成角的范围是多少？ [提示]　(1)确定的．(2). ◎结论形成 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. (1)θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． (2)sin θ＝sin〈v1，v2〉． cos θ＝|cos<v1，v2>|. (3)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 导学4 异面直线与空间向量 　(1)空间中两条直线的位置关系，有几种？ (2)异面直线有什么特点？ [提示]　(1)平行，相交或异面． (2)异面直线指的是空间中，既不平行也不相交的直线． ◎结论形成 1．两条直线是异面直线的条件 设v1与v2分别是空间直线l1，l2的方向向量 (1)“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (2)A∈l1，B∈l2，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线的公垂线段和距离 如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． [基础自测] 1．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6)　　　　　　　　 B．(－1,1,3) C．(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析　∵A，B都在直线l上， ∴＝(1,1,3)是直线l的一个方向向量． 2＝(2,2,6)也是直线l的一个方向向量． 答案　A 2．(多选题)若直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量v2＝(－2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B.相交 C．垂直 D.重合 解析　∵v2＝－2v1， ∴v1∥v2，即l1∥l2或重合，故选A，D. 答案　AD 3．若直线l的方向向量为v＝(2,1,3)，且直线l过A(0，y,3)，B(－1，－2，z)两点，则y＋z＝ . 解析　∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)，B(－1，－2，z)两点， ∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)， 则λ＝－，－2－y＝－，z－3＝－， ∴y＝－，z＝， ∴y＋z＝0. 答案　0 4．v1＝(1,2，－2)，v2＝(－2,3,2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角大小为 ． 解析　设θ是直线l1，l2所成的角cos θ＝|cos〈v1，v2〉| ＝＝＝0， ∴θ＝90°. 答案　90° 题型一　利用直线的方向向量判断两直线的位置关系 　(1)直线a，b的方向向量