1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

#1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学业标准 1.掌握空间向量的坐标表示．(重点) 2.理解空间向量的运算与坐标的关系及应用．(重点、难点) 3.理解空间直角坐标系，并能应用坐标系表示点及向量的坐标．(难点) [教材梳理] 导学1 空间中向量的坐标 　(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ (2)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？ [提示](1)相同． (2)一一对应． ◎结论形成 1．正交基底 一般如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中的向量e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． 2．空间向量的坐标 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 导学2 空间向量的运算与坐标关系及空间向量的平行与垂直 　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．据此回答下列问题： (1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正向同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？ (2)a＋b＝ ；a·b＝ . [提示]　(1)a＝x1i＋y1j　b＝x2i＋y2j. (2)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)　a·b＝x1x2＋y1y2. ◎结论形成 空间中两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量运算 坐标表示 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2) μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 a∥b ＝＝(a的每一个坐标分量不为零) a⊥b a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 |a| |a|＝＝ cos〈a，b〉 cos〈a，b〉＝ ＝ 导学3 空间直角坐标系 　(1)数轴Ox上的点M可用对应的实数x表示吗？ (2)直角坐标平面上点M怎么表示？ [提示]　(1)可以． (2)用一对有序实数(x，y)表示． ◎结论形成 空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (2)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴，y轴画成水平放置，x轴正方向和y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示． (3)建立了空间直角坐标系O­xyz之后，如上图所示，设M为空间中一点，过M分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，设这些平面与x轴，y轴，z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴，y轴，z轴上的坐标分别为x，y，z.点M与三个有序实数组(x，y，z)之间，有了一一对应关系．空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定．(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． (4)空间中建立了空间直角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如下图所示．习惯上，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限．事实上，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为： {(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}，其他卦限的点集可用类似的方法表示． 导学4 空间向量的坐标的应用 　在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点： (1)＝ ，＝ ； (2)＝ ； (3)||＝ ； (4)设M为AB的中点，则＝ ，M点的坐标为 ． [提示]　(1)(x1，y1)　(x2，y2) (2)(x2－x1，y2－y1) (3) (4)　 ◎结论形成 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点． (1)＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)． (2)＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (3)A