1.1.2 空间向量基本定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

§#1.1.2　空间向量基本定理 学业标准 1.理解空间共面向量定理，并能用定理判定空间四点共面问题．(重点) 2.理解空间向量基本定理、基底、基向量的概念，并能用定理解决一些几何问题．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 共面向量定理 　在平面向量中，两个向量共线的充要条件是什么？ [提示]　如果a≠0且b∥a⇔存在唯一的实数λ，使得b＝λa. ◎结论形成 1．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 2．这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要注意到当xa与yb不共线时，xa，yb，xa＋yb分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可． 导学2 空间向量基本定理 　在空间向量中 (1)向量a与b有什么要求吗？ (2)任意一个向量c写成a与b的线性表达式唯一吗？ [提示]　(1)a与b不共线．(2)唯一． ◎结论形成 1．空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．p用a，b，c表示的表达式p＝xa＋yb＋zc唯一． 3．特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. 4．基底，基向量 (1)表达式xa＋yb＋zc一般称向量a，b，c的线性组合或线性表达式，如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量． (2)空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}常称为空间向量的一组基底．此时，a，b，c都称为基向量．如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． [基础自测] 1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　) A．a与b共线　　　　　　 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 解析　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故D错误． 答案　A 2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 解析　由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面． 答案　B 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A.a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 解析　＝－＝－ ＝(＋)－ ＝(＋)－ ＝(＋－)－ ＝－＋ ＝a－b＋c.故选C. 答案　C 4．如果空间向量a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b，则x＝ ，y＝ . 解析　∵a，b不共线，且a－yb＝xa＋3b ∴(x－1)a＋(y＋3)b＝0 ∴，解得 答案　1，－3 5．在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝ ，＝ . 解析　因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中， M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b， ＝c，所以＝＋＝b＋c， ＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝c＋(－b＋a－b)＝c＋－. 答案　b＋c　c＋－ 题型一　空间向量的共面问题 　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知， ，共面． [规律方法] (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． (2)向量共面：向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)． [触类旁通] 1．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面． 解析　，，三个向量共面． 因为＝＋＋，所以3＝＋＋， 化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0， 即＋＋＝0，即＝－－，故，，共面． 题型二　空间向量的基底 一题多变 　(1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． (2)如图所示，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用