1.1.1 空间向量及其运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

　空间向量及其运算 §#1.1.1　空间向量及其运算 学业标准 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(重点) 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(重点) 3.掌握空间向量的线性运算和数量积．(难点) [教材梳理] 导学1 空间向量的概念 　在如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中： (1)与相等的向量有哪些？ (2)向量，，是共面向量吗？ [提示]　(1)因为AA1，BB1，CC1，DD1互相平行并且长度相等，因此，＝＝＝. (2)因为经过平移后可以达到的位置，而，，都在平面ADD1A1内．所以，，是共面向量． ◎结论形成 1．空间向量的定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)，向量的大小也称向量的模(或长度)． 2．向量的表示 (1)可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．始点为A，终点为B的向量记为，向量的模用||表示． (2)可以用一个小写字母来表示向量，在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c来表示向量，在书写时，用带箭头的小写字母如，，来表示．此时，向量a的模也用|a|或||来表示． 3．零向量：始点和终点相同的向量，零向量的方向是不确定的．通常用0表示，书写时用表示． 4．单位向量：模等于1的向量，e是单位向量的充要条件是|e|＝1. 5．相等向量：大小相等，方向相同的向量称为相等向量． 向量a和b相等，记作a＝b. 6．平行向量：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为共线． 7．向量共面 (1)一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面，否则，称这些向量不共面． (2)空间中任意两个向量都是共面，但空间中任意三个向量不一定共面. 导学2 空间向量的加法运算 　在如图所示的长方体ABCD­A′B′C′D′中． (1)＋＝ ； (2)＋＝ . [提示]　(1)；(2). ◎结论形成 加法法则 (1)三角形法则：给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作向量，则是向量a与b的和，记作a＋b..＋＝. (2)平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以，为邻边作一个平行四边形ABDC.作出向量，则＝＋. (3)运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 导学3 空间向量的线性运算 　在如图所示的四棱锥O ­ABCD中，DC＝2，AB＝4，AB∥DC. (1)－＝ ； (2)－＝ ； (3)＝ . [提示]　(1)；(2)； (3)－2. ◎结论形成 1．向量的减法：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差．即－＝. 2．相反向量：给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量．向量a的相反向量记作－a.因此，的相反向量是－，而且－＝.－0＝0. 空间向量的减法也可以看成向量的加法，即a－b＝a＋(－b)． 一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上另一个向量的相反向量． 3．数乘向量 (1)定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量．记作λa. (2)向量a与λa的关系 当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a| λ＞0 λa与a方向相同 λ＜0 λa与a方向相反 λ＝0 λa＝0 4.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法与数乘运算以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． (2)运算律 实数λ与μ，向量a与b. λa＋μa＝(λ＋μ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb. 导学4 空间向量的数量积 　在平面内，两个向量a，b，向量|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，求a·b. [提示]　a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 ＝2×3×cos ＝3. ◎结论形成 1．两空间向量的夹角 定义 图示 记法 范围 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角 〈a，b〉 [0，π] 如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2．两个向量数量积的定义 已知空间两个向量a，b，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)． 3．两个向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0. (2