3.2.2双曲线的简单几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#3．2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学业标准 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能够根据双曲线的标准方程画出双曲线的图形．(重点) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．(重点、难点) [教材梳理] 导学 双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示，探究下面问题． 　从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ [提示]　有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. 　 观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？若是，对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？若是，对称中心是哪个点？ [提示]　关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 　双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？ [提示]　不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． ◎结论形成 1．双曲线的简单几何性质 标准 方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≥a或y≤－a__ 对称性 对称轴：__坐标轴__ 对称中心：__原点__ 对称轴：__坐标轴__ 对称中心：__原点__ 顶点 坐标 __A1(－a,0)，__ __A2(a,0)__ __A1(0，－a)，__ __A2(0，a)__ 渐近线 　y＝±x　 　y＝±x　 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．它的渐近线是y＝±x，离心率等于. [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(　　) 解析　(1)√.双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同，但是位置不一样． (2)×.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. (3)×.等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x. (4)√.等轴双曲线的离心率是. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．双曲线－＝1的顶点坐标是(　　) A．(±4,0)　　　　　　　 B．(±5,0) C．(0，±3) D．(0，±2) 答案　B 3．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2 是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 解析　由已知，a＝1，c＝2，不妨设F1(－2,0)，F2(2,0)， 因为|OP|＝2＝|F1F2|， 所以点P在以F1F2为直径的圆上， 即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形， 故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16， 又＝2a＝2， 所以4＝(|PF1|－|PF2|)2 ＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2| ＝16－2|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝6， 所以S△F1F2P＝|PF1||PF2|＝3. 答案　B 4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________． 解析　因为a＞0，所以焦点在x轴上， 所以4－a＝a＋2，所以a＝1. 答案　1 题型一　双曲线的几何性质 　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [自主解答]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)， 化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝. 顶点坐标为(－，0)，(，0)． 所以渐近线的方程为y＝±x＝±x. [规律方法] 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较． [触类旁通] 1．求双曲线y2－2x2＝1的焦点坐标和渐近线方程． 解析　双曲线方程化为标准方程形式－＝1. ∴a2＝1，b2＝，焦点在y轴上，∴a＝1，b＝，c2＝，c＝.焦点坐标为F1，F2，渐近线方程为y＝±x. 题型二　求双曲线的离心率 　(2021·全国甲卷)已知F1，F2