3.2.1双曲线及其标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#3．2.1　双曲线及其标准方程 学业标准 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) [教材梳理] 导学1 双曲线的定义 　我们已经学习过椭圆，椭圆是如何定义的？ [提示]　平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 　如图所示，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点满足怎样的几何条件？ [提示]　曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． 　思考课本第118页的探究题，思考在双曲线的形成过程中曲线上的点满足的条件与问题2中的点满足的条件相同吗？ [提示]　相同． ◎结论形成 双曲线的定义 自然语言 符号表示 定 义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 ＝2a(常数)，其中0＜2a＜|F1F2| 有关概念 两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 焦点：F1，F2； 焦距：|F1F2| 导学2 双曲线的标准方程 　推导椭圆标准方程的步骤是什么？ [提示]　建系、设点、列式、化简． 　根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系求双曲线的方程？ [提示]　选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，然后按求轨迹方程的直接法步骤，求出双曲线的方程． 　若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？ [提示]　根据双曲线的定义知满足条件＝2a(a为定长)． ◎结论形成 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0) F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的 关系式 a2＋b2＝c [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　) (2)已知点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　　) (3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a＞b.(　　) 解析　(1)×.双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2. (2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C点的轨迹是两条射线． (3)×.在双曲线－＝1中，焦点在x轴上，且a＞0，b＞0，但是不一定a＞b. 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线　　　　　　　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析　因为||PM|－|PN||＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是两条射线． 答案　C 3．双曲线2x2－y2＝8的一个焦点坐标是(　　) A．(0，－2) B．(－2，0) C．(，0) D．(0，) 解析　因为双曲线方程可化为－＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2， 所以焦点坐标为(－2，0)，(2，0) 答案　B 4．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析　设双曲线的两个焦点为F1，F2， |PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上． 因为|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9. 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案　9 题型一　双曲线的定义及应用一题多变 　已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积． [自主解答]　因为点P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°， 所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. [母题变式] 1．(变条件、变结论)若例1条件“若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32”改为“双曲线上一点P到焦点F1的距离为10”．求点P到F2的距离． 解析　由双曲线的标准方程－＝1，