3.1.1椭圆及其标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

　椭圆 #3．1.1　椭圆及其标准方程 学业标准 1.掌握椭圆的定义并会用椭圆的定义解决问题．(重点) 2．掌握椭圆标准方程及其推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 3．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) [教材梳理] 导学1 椭圆的定义 　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，怎样画出椭圆？ [提示]　固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离即可. 　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ [提示]　到两个定点的距离和等于常数． 　在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ◎结论形成 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|，焦距的一半称为半焦距. 导学2 椭圆的标准方程 　根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ [提示]　以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程． 　在推导椭圆的标准方程的过程中，如何处理等式中的两个根式？ [提示]　将其中一个根式移到另一端，两边平方然后再次平方即可． 　建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ [提示]　是． ◎结论形成 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (－c,0)(c,0) (0，－c)(0，c) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 解析　(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆． (2)×.2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在． (3)√.符合椭圆的定义． (4)×.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．4 解析　由椭圆方程可知焦距2c＝2×＝4. 答案　D 3．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案　D 4．平面内一动点M到两定点F1，F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹不可能为(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 解析　当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在． 答案　A 题型一　求椭圆的标准方程一题多变 　(1)点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． (2)求中心在原点，焦点在y轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程． [自主解答]　(1)方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点， 所以|MC|＋|MP|＝r＝8， 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆． (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. [母题变式] 1．(变条件)若将例1(1)中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3,0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程． 解析　设任意点M(x，y)，由题意可知，圆C的圆心坐标为C(3,0)，半径r＝3. 由|MC|＝|MP|＋r知|MC|－|MP|＝r＝3， 即－＝3，整理得－＝1(x＜0)． 2．(变条件