2.5.1直线与圆的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#2．5.1　直线与圆的位置关系 学业标准 1.掌握直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的位置关系．(重点、难点) 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点、易错点) [教材梳理] 导学 直线与圆的位置关系 　直线与圆有几种位置关系？ [提示]　3种，相交、相切和相离． 　怎样用几何法判断直线和圆的位置关系？ [提示]　利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d＞r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交． 　除了几何法还有什么方法可以判断直线与圆的位置关系？ [提示]　根据直线与圆的方程，用代数法可以判断． ◎结论形成 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系的判断． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__个 __1__个 __0__个 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__＜__r d__＝__r d__＞__r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__＞__0 Δ__＝__0 Δ__＜__0 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)过圆外一点可作两条圆的切线．(　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　) (3)过半径外端的直线与圆相切．(　　) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　) 解析　(1)√.过圆外一点可作两条圆的切线． (2)√.直线被圆截，所得最长弦为直径． (3)×.过半径外端与半径垂直的直线与圆相切． (4)√.过圆内一点的直线一定与圆相交，此说法正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法确定 解析　因为d＝＝8＜10＝r，所以直线与圆相交． 答案　A 3．已知直线x＝a和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　) A．±3 B．±1 C．1或－3 D．3或－1 解析　由题意知，|a－1|＝2，所以a＝3或a＝－1. 答案　D 4．直线x－y＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为________． 解析　直线x－y＝2可化为x－y－2＝0， 圆心到直线的距离为d＝＝， 即弦长为2＝2. 答案　2 题型一　直线与圆的位置关系的判断一题多解 　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [自主解答]　解法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0，即－<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [规律方法] 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [触类旁通] 1．(2021·新高考全国卷Ⅱ改编)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法不正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析　转化点与圆、点与直线的位置关系为a2＋b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．圆心C(0,0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若