2.4.2圆的一般方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#2．4.2　圆的一般方程 学业标准 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会在给定的条件下求圆的一般式方程．(重点) [教材梳理] 导学 圆的标准方程 　已知圆心(2,3)，半径长为2，写出圆的标准方程，并将该圆的方程化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式？ [提示]　(x－2)2＋(y－3)2＝4，展开得x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即该圆的方程能化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？ [提示]　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径长为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形． 　若将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方化成2＋2＝的形式，你能得到什么结论？ [提示]　当D2＋E2－4F＞0时，表示以为圆心，为半径的圆． ◎结论形成 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2 －4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2 －4F＝0 表示一个点 D2＋E2 －4F＞0 表示以为圆心， 以为半径的圆 3.点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey－F＝0(D2＋E2＋F＞0的位置关系) M在圆内⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0. M在圆上⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0. M在圆外⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0. [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　) (3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 解析　(1)√.圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)√.圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)×.不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2)． (4)√.因为点M(x0，y0)在圆外，所以2＋2＞， 即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)． 答案　D 3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　) A．k≤ B．k＝ C．k≥ D．k＜ 解析　方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<. 答案　D 4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________． 解析　由题意得，圆的半径r＝＝，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案　x2＋y2＋6x－8y－48＝0 题型一　圆的一般方程的概念 　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围． (2)圆心坐标和半径． [自主解答]　(1)因为方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆， 所以D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 可得圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. [方法总结] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． [触类旁通] 1．已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________． 解析　把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理，可得a22＋(a＋2)y2＝1－a， 因为此曲线表示圆， 所以a2＝a＋2，并且1－a＞0， 所以解得a＝－1. 答案　－1 题型二　用待定系数法求圆的一般方程一题多变 　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC