2.4.1圆的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#2．4.1　圆的标准方程 学业标准 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) [教材梳理] 导学 圆的标准方程 　圆的定义是什么？ [提示]　平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点是圆心，定长为半径． 　圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么？各要素与圆有怎样的关系？ [提示]　圆心和半径．圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小． 　设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径长为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？ [提示]　|MA|＝r. 　如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？ [提示]　P＝{M||MA|＝r}． 　用坐标表示点M适合的条件并化简得到什么等式？ [提示]　(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ◎结论形成 1．圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 2．点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径长为r，点P(x0，y0)，设点P到圆心的距离为d. 位置关系 d与r的大小 点P的坐标特点 点P在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点P在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点P在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径长是2.(　　) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 解析　(1)√.确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)×.当m＝0时，不表示圆． (3)×.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(－1,1)，半径是. (4)×.因为(0－1)2＋(0－2)2＞1，所以点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．圆心为(－2,3)，半径长为2的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 答案　B 3．圆(x＋1)2＋(y－)2＝a2(a≠0)的圆心为________，半径长为________． 解析　由圆的标准方程知，圆心为(－1，)，半径r＝|a|. 答案　(－1，)　|a| 4．圆心为C(1，－5)，且经过原点的圆的方程是________________． 解析　由条件知，r2＝12＋(－5)2＝26， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝26. 答案　(x－1)2＋(y＋5)2＝26 题型一　用直接法求圆的标准方程 　写出下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为. [自主解答]　(1)设圆的半径为r(r＞0)， 则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10， 故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)圆心是两直线的交点， 解方程组得 所以圆心为，又因为半径长为. 所以圆的标准方程为2＋2＝. [规律方法] 用直接法求圆的标准方程的策略 (1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程； (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等． 提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系． [触类旁通] 1．⊙C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4,2)． (1)求⊙C的方程； (2)当x0为何值时，⊙C的面积最小？求出此时圆的标准方程． 解析　(1)由已知得到圆的半径为 |PC|＝＝， 所以圆的方程为 (x－x0)2＋(y－x0)2＝2(x0－3)2＋2. (2)⊙C的面积为π[2(x0－3)2＋2]， 要使圆面积最小，只要x0＝3， 此时圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 题型二　用待定系数法求圆的标准方程 　已知圆过点A(1，－1)，B(－1,1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [自主解答]　解法一　设所求